Question

Responda a integral dupla:

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{1}{20}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a integral dupla:

$\displaystyle{\iint_R 2x-y\,dA$, em que $R$ é região limitada por $y=\sqrt{x}$ e $y=x$.

Primeiro, devemos encontrar os limites desta região, ou seja, para quais valores de $x$ e $y$ ela está definida.

Igualamos as funções:

$\sqrt{x}=x$

Elevamos ambos os lados da equação ao quadrado

$x=x^2$

Subtraindo $x$ em ambos os lados da equação, teremos

$x^2-x=0$

Fatorando a expressão, obtemos

$x\cdot(x-1)=0$

Facilmente, podemos ver que os limites serão $x=0$ e $x=1$.

Então, lembre-se que o elemento de área $dA$ pode ser reescrito como $dA=dy\,dx$ ou $dA=dx\,dy$, conforme o Teorema de Fubini para integrais iteradas.

Agora, analisamos o comportamento das funções no intervalo definido: em todo o intervalo $0\leq x\leq 1$, temos que $\sqrt{x}>x$. Assim, define-se a integral dupla:

$\displaystyle{\int_0^1\int_x^{\sqrt{x}}2x-y\,dy\,dx$

Para resolver a integral mais interna, em respeito à variável $y$, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma da integral das funções.
• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\displaystyle{\int a\cdot f(y)\,dy=a\cdot\int f(y)\,dy$.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int y^n\,dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1},~n\neq-1$.
• A integral definida de uma função, contínua em todo o intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(y)\,dy=F(y)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(y)$ é a antiderivada de $f(y)$.

Lembre-se que $y^0=1$ e aplique a regra da potência

$\displaystyle{\int_0^12xy-\dfrac{y^2}{2}~\biggr|_x^{\sqrt{x}}\,dx$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_0^12x\sqrt{x}-\dfrac{(\sqrt{x})^2}{2}-\left(2x\cdot x-\dfrac{x^2}{2}\right)\,dx$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{\int_0^12x\sqrt{x}-\dfrac{x}{2}-2x^2+\dfrac{x^2}{2}\,dx$

Some os termos semelhantes

$\displaystyle{\int_0^12x\sqrt{x}-\dfrac{x}{2}-\dfrac{3x^2}{2}\,dx$

Então, calculamos a integral em respeito à variável $x$.

Lembrando que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$, aplique a regra da potência

$\displaystyle{\int_0^12x^{\frac{3}{2}}-\dfrac{x}{2}-\dfrac{3x^2}{2}\,dx}\\\\\\\\ 2\cdot\dfrac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_0^1$

Calcule a fração de fração e multiplique os valores

$\dfrac{4x^{\frac{5}{2}}}{5}-\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{x^3}{2}~\biggr|_0^1$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{4\cdot1^{\frac{5}{2}}}{5}-\dfrac{1^2}{4}-\dfrac{1^3}{2}-\left(\dfrac{4\cdot0^{\frac{5}{2}}}{5}-\dfrac{0^2}{4}-\dfrac{0^3}{2}\right)$

Calcule as potências e multiplique os valores

$\dfrac{4}{5}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}$

Some as frações

$\dfrac{1}{20}$

Este é o resultado desta integral dupla.