Question

Resolvera a equação diferencial linear: tdy/dt+2y=t^3

Por favor apresente a solução passo a passo.

Answer 1

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

$\frac{tdy}{dt} +2y= t^{3}$


Divide Por "t"

$\frac{t}{t} \frac{dy}{dt} + \frac{2}{t}y= \frac{t}{t} ^{3}$

$\frac{dy}{dt}+ \frac{2}{t}y= t^{2}$

$P(x)= \frac{2}{t}$

$Q(x)= t^{2}$

Fator Integrante
$u=e ^\int\limits^ {P(x)dx}$

$u=e ^\int\limits^ { \frac{2}{t} dt}$

$u=e ^\int\limits^ {2ln[t]+C}$

$u=e ^\ {ln[t]^2}$

$u= t^{2}$


Voltando a equação multiplica pelo Fator integrante

$t^{2} \frac{dy}{dt}+ \frac{2}{t} t^{2}y= t^{2} t^{2}$

$\frac{d}{dt}( t^{2}y)= t^{4}$

$d( t^{2}y)= t^{4}dt$

$\int\limits d( t^{2}y)= \int\limits t^{4}dt$

$t^{2}y= \frac{t^{5} }{5} +C$

$y= [\frac{ t^{5} }{5} +C] /t^{2}$

$y= \frac{ t^{3} }{5} + \frac{C}{ t^{2} }$