Question

Resolver só se souber ♡♡

1) Exprimir a área de um hexágono regular em função da altura " h "de um triângulo equilátero cujos vértices coincidem com 3 dos vértices do hexágono.

Answer 1

Vamos lá: queremos saber a medida da área de um hexágono baseada num triângulo que tem vértices concincidindo com os vértices do hexáno. Para tanto, veja que a possibilidade que temos é a do anexo 2. O héxagono é a linha azul, caneta, e o triângulo em questão é o laranja. Comecemos calculando a área dos triângulos vermelhos. Como possuem mesma medida, calcula a área de um e depois multiplica por 3. Assim, pelas relações métricas temos que a base do triângulo vermelho mede l√3 e sua altura （l/2）. Assim,

A＝（1/2）*base*altura

A＝（1/2）*l√3*（l/2）＝（l²√3）/4

Como os três triângulos possuem mesma área, temos:

A＝（3l²√3）/4

Guardamos isso, e vamos ao triângulo laranja. Temos que a sua base mede l√3, e como é equilatéro sua área é dada por:

A＝〔（l√3）²√3〕/4＝（3l²√3）/4

Ora, a área dos triângulos vermelhos é igual a área do triangulo laranja. Assim, a área do héxagono corresponde ao dobro dessa medida. Dessa forma:

Ahex.＝2*{（3l²√3）/4}＝（3l²√3）/2

Veja o anexo 1. Aqui é possível ver que a maior distância entre dois vértices do hexágono mede 2l e altura do triângulo menor mede
（l/2）. Assim, a altura do triângulo laranja mede 2l-（l/2）＝（3l/2）. Organizando:

h＝（3l/2）

Isola l,

2h＝3l

l＝（2h/3）

Eleva ambos membros ao quadrado,

l²＝（4h²/9）

Substitui na fórmula de área do hexágono que encontramos. Por fim,

A＝
$\frac{3 \sqrt{3} }{2} \times \frac{4 {h}^{2} }{9} = \frac{2 {h}^{2} \sqrt{3} }{3}$
Bem, é isso. Bons estudos！