Question

Resolver o seguinte sistema:
x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 5 (mod 7)

(P.S.: Fazer passo a passo.)

Answer 1

Resposta:

2*3*7=42  

x ≡ 1 (mod 2) ==> vezes 21 ==> 21x= 21 (mod 42) (i)

x ≡ 2 (mod 3) ==>vezes 14 ==>  14x= 28 (mod 42)  (ii)

x ≡ 5 (mod 7) ==>vezes 6 ==>  6x=30 (mod 42)    (iii)

subtraindo (i)-(ii)-(iii)

x =21 (mod 42)- 28 (mod 42)-30 (mod 42)

x= -37 (mod 42)

x=5

Answer 2

Resposta:   $x=42n+5$

com n ∈ ℕ, ou em forma de congruência,

     $x\equiv 5\quad\mathrm{(mod~}42).$

Explicação passo a passo:

Resolver o sistema linear de congruências modulares:

     $\left\{\begin{array}{lc}x\equiv 1\quad\mathrm{(mod~}2)&\quad\mathrm{(i)}\\ x\equiv 2\quad\mathrm{(mod~}3) &\quad\mathrm{(ii)}\\ x\equiv 5\quad\mathrm{(mod~}7)&\quad\mathrm{(iii)} \end{array}\right.$

A resolução a seguir tem como base o Teorema Chinês dos Restos, que garante a existência de solução única de sistema lineares de congruências, desde que os módulos das equações sejam dois a dois primos entre si.

Como 2, 3 e 7 são primos, então mdc(2, 3) = mdc (2, 7) = mdc(3, 7) = 1. Logo, o sistema tem solução, e a solução é única módulo 42 = 2 × 3 × 7.

Vamos resolver cada equação do sistema separadamente, cuidando para que a solução encontrada para cada equação não interfira nas outras duas equações.

• Resolvendo (i):

Encontre o produto dos módulos das outras duas equações:

     $3\cdot 7=21$

Agora, temos que encontrar um valor de $y_1$ tal que

     $21y_1\equiv 1\quad\mathrm{(mod~}2)$

Como 21 já é ímpar, então $y_1=1$ é uma solução para a equação acima.

A solução para a equação (i) é dada por

     $\Longrightarrow\quad x_1\equiv 1\cdot (21y_1)\quad\mathrm{(mod~}2)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x_1\equiv 1\cdot (21\cdot 1)\quad\mathrm{(mod~}2)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\equiv 21\quad\mathrm{(mod~}2)\qquad\mathrm{(iv)}$

Observe que escolhemos 21 como representante da solução da equação (i), de modo que

     $21\equiv 0\quad\mathrm{(mod~}3)\\\\ 21\equiv 0\quad\mathrm{(mod~}7).$

• Resolvendo (ii):

Encontre o produto dos módulos das outras duas equações:

     $2\cdot 7=14$

Agora, temos que encontrar um valor de $y_2$ tal que

     $14y_2\equiv 1\quad\mathrm{(mod~}3)$

Perceba que

     $14\cdot 2=28=3\cdot 9+1\equiv 1\quad\mathrm{(mod~}3)$

Então, podemos tomar $y_2=2.$ A solução para a equação (ii) é dada por

     $\Longrightarrow\quad x_2\equiv 2\cdot (14y_2)\quad\mathrm{(mod~}3)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x_2\equiv 2\cdot (14\cdot 2)\quad\mathrm{(mod~}3)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x_2\equiv 56\quad\mathrm{(mod~}3)\qquad\mathrm{(v)}$

Observe que escolhemos 56 como representante da solução da equação (ii), de modo que

     $56\equiv 0\quad\mathrm{(mod~}2)\\\\ 56\equiv 0\quad\mathrm{(mod~}7).$

• Resolvendo (iii):

Encontre o produto dos módulos das outras duas equações:

     $2\cdot 3=6$

Agora, temos que encontrar um valor de $y_3$ tal que

     $6y_3\equiv 1\quad\mathrm{(mod~}7)$

Perceba que

     $6\cdot 6=36=7\cdot 5+1\equiv 1\quad\mathrm{(mod~}7)$

Então, podemos tomar $y_3=6.$ A solução para a equação (iii) é dada por

     $\Longrightarrow\quad x_3\equiv 5\cdot (6y_3)\quad\mathrm{(mod~}7)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x_3\equiv 5\cdot (6\cdot 6)\quad\mathrm{(mod~}3)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x_3\equiv 180\quad\mathrm{(mod~}7)\qquad\mathrm{(vi)}$

Observe que escolhemos 180 como representante da solução da equação (iii), de modo que

     $180\equiv 0\quad\mathrm{(mod~}2)\\\\ 180\equiv 0\quad\mathrm{(mod~}3).$

• Solução geral do sistema:

A solução do sistema é dada por

     $\Longrightarrow\quad x\equiv x_1+x_2+x_3\quad\mathrm{(mod~}2\cdot 3\cdot 7)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\equiv x_1+x_2+x_3\quad\mathrm{(mod~}42)$

Atenção! Substitua exatamente os mesmos representantes encontrados como soluções de (i), (ii) e (iii). Assim, obtemos

     $\Longleftrightarrow\quad x\equiv 21+56+180\quad\mathrm{(mod~}42)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\equiv 257=252=42\cdot 6+5\quad\mathrm{(mod~}42)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\equiv 5\quad\mathrm{(mod~}42)\quad\checkmark$

ou equivalentemente

     $\Longleftrightarrow\quad x=42n+5\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

com n ∈ ℕ.

Bons estudos! :-)