RESOLVER INTEGRAL INDEFINIDA POR PARTES. Poderiam me ajudar?
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Olá, boa noite.
Devemos resolver a seguinte integral pela técnica de integração por partes:
A integração por partes é dada pela fórmula: . Logo, devemos escolher qual função será o e qual será o diferencial .
Para isso, temos o critério LIATE para a escolha do , que consiste em darmos prioridade para as funções Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de ), Trigonométricas e Exponencial.
Dessa forma, ao analisarmos as funções, escolhemos e .
Então, observe que devemos encontrar o diferencial e . Para isso, diferenciamos a expressão em e integramos o diferencial :
Aplique a regra da cadeia e calcule a derivada da função cosseno, lembrando que
Então, integramos o diferencial
Fazendo uma substituição , derivamos ambos os lados da expressão para encontrarmos o diferencial :
Lembre-se que:
- A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada pelo produto entre a constante e a derivada da função: .
- A derivada de uma potência é dada por: .
Assim, teremos
Observe que esta expressão já está presente na integral, logo substituímos:
Lembre-se que e , logo
Desfaça a substituição
Substituindo estas informações na fórmula de integral por partes, teremos
Multiplique os valores
Veja que devemos aplicar novamente a técnica de integração por partes: escolhemos e
Diferenciamos a expressão em e integramos :
Integramos da mesma forma que anteriormente, mas lembre-se que dessa vez não temos a constante, logo
Substituindo estes dados na integral, temos
Aplique a regra da constante
Calcule a integral e desfaça a substituição
Substituindo estas expressões na fórmula de integração por partes, temos
Aplique a propriedade da constante e retire os valores dos parênteses
Observe que a integral que temos é a mesma que iniciamos, porém dividida por . Dessa forma, substituímos:
Multiplique as frações
Some em ambos os lados da equação
Some as frações
Multiplique ambos os lados da equação por
Multiplique as frações
Fatore a expressão
Adicione a constante de integração
Este é o resultado desta integral.