Matemática, perguntado por alexandreeeee10, 9 meses atrás

RESOLVER INTEGRAL INDEFINIDA POR PARTES. Poderiam me ajudar?

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui
2

Resposta:

\boxed{\bold{\displaystyle{I=\dfrac{3e^{3x}\cdot (3\cos x+\sin x)}{10}+C,~C\in\mathbb{R}}}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos resolver a seguinte integral pela técnica de integração por partes: I=\displaystyle{\int 3e^{3x}\cos x\,dx

A integração por partes é dada pela fórmula: \displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du}. Logo, devemos escolher qual função será o u e qual será o diferencial dv.

Para isso, temos o critério LIATE para a escolha do u, que consiste em darmos prioridade para as funções Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de x), Trigonométricas e Exponencial.

Dessa forma, ao analisarmos as funções, escolhemos u=\cos x e dv=3e^{3x}\,dx.

Então, observe que devemos encontrar o diferencial du e v. Para isso, diferenciamos a expressão em u e integramos o diferencial dv:

u'=(\cos x)'

Aplique a regra da cadeia e calcule a derivada da função cosseno, lembrando que (\cos x)'=-\sin x

du=-\sin x\,dx

Então, integramos o diferencial dv

\displaystyle{\int dv=\int 3e^{3x}\,dx

Fazendo uma substituição t=3x, derivamos ambos os lados da expressão para encontrarmos o diferencial dt:

t'=(3x)'

Lembre-se que:

  • A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada pelo produto entre a constante e a derivada da função: (a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x).
  • A derivada de uma potência é dada por: (x^n)'=n\cdot x^{n-1}.

Assim, teremos

dt=3\,dx

Observe que esta expressão já está presente na integral, logo substituímos:

\displaystyle{\int dv=\int e^t\,dt}

Lembre-se que \displaystyle{\int dv =v} e  \displaystyle{\int e^x\,dx=e^x}, logo

v=e^t

Desfaça a substituição t=3x

v=e^{3x}

Substituindo estas informações na fórmula de integral por partes, teremos

\displaystyle{\int 3e^{3x}\cos x\,dx=\cos x\cdot e^{3x}-\int e^{3x}\cdot(-\sin x\,dx)}

Multiplique os valores

I=\displaystyle{\cos x\cdot e^{3x}+\int e^{3x}\cdot\sin x\,dx}

Veja que devemos aplicar novamente a técnica de integração por partes: escolhemos u=\sin x e dv=e^{3x}\,dx

Diferenciamos a expressão em u e integramos dv:

u'=(\sin x)'\\\\\ du=\cos x \,dx\\\\\\ \displaystyle{\int \,dv = \int e^{3x}\,dx}

Integramos da mesma forma que anteriormente, mas lembre-se que dessa vez não temos a constante, logo

t=3x\\\\\\ dt=3\,dx\\\\\\ dx= \dfrac{dt}{3}

Substituindo estes dados na integral, temos

v=\displaystyle{\int e^t\cdot\dfrac{dt}{3}}

Aplique a regra da constante

v=\displaystyle{\dfrac{1}{3}\cdot\int e^t\,dt}

Calcule a integral e desfaça a substituição

v=\dfrac{e^t}{3}\\\\\\ v=\dfrac{e^{3x}}{3}

Substituindo estas expressões na fórmula de integração por partes, temos

I=\displaystyle{\cos x\cdot e^{3x}+\left(\sin x\cdot \dfrac{e^{3x}}{3}-\int \dfrac{e^{3x}}{3}\cdot \cos x\,dx\right)

Aplique a propriedade da constante e retire os valores dos parênteses

I=\displaystyle{\cos x\cdot e^{3x}+\sin x\cdot \dfrac{e^{3x}}{3}-\dfrac{1}{3}\cdot\int e^{3x}\cdot \cos x\,dx

Observe que a integral que temos é a mesma que iniciamos, porém dividida por 3. Dessa forma, substituímos:

I=\cos x\cdot e^{3x}+\sin x\cdot \dfrac{e^{3x}}{3}-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{I}{3}

Multiplique as frações

I=\cos x\cdot e^{3x}+\sin x\cdot \dfrac{e^{3x}}{3}-\dfrac{I}{9}

Some \dfrac{I}{9} em ambos os lados da equação

I+\dfrac{I}{9}=\cos x\cdot e^{3x}+\sin x\cdot \dfrac{e^{3x}}{3}

Some as frações

\dfrac{10I}{9}=\dfrac{3\cos x\cdot e^{3x}+\sin x\cdot e^{3x}}{3}

Multiplique ambos os lados da equação por \dfrac{9}{10}

I={\dfrac{3\cos x\cdot e^{3x}+\sin x\cdot e^{3x}}{3}\cdot\dfrac{9}{10}

Multiplique as frações

I=\dfrac{9\cos x\cdot e^{3x}+3\sin x\cdot e^{3x}}{10}

Fatore a expressão

I=\dfrac{3e^{3x}\cdot(3\cos x+\sin x)}{10}

Adicione a constante de integração

I=\dfrac{3e^{3x}\cdot(3\cos x+\sin x)}{10}+C,~C\in\mathbb{R}

Este é o resultado desta integral.


alexandreeeee10: Muito obrigado pela sua atenção e pelo seu tempo!
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