Question

RESOLVER INTEGRAL INDEFINIDA POR PARTES. Poderiam me ajudar?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{I=\dfrac{3e^{3x}\cdot (3\cos x+\sin x)}{10}+C,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos resolver a seguinte integral pela técnica de integração por partes: $I=\displaystyle{\int 3e^{3x}\cos x\,dx$

A integração por partes é dada pela fórmula: $\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du}$. Logo, devemos escolher qual função será o $u$ e qual será o diferencial $dv$.

Para isso, temos o critério LIATE para a escolha do $u$, que consiste em darmos prioridade para as funções Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponencial.

Dessa forma, ao analisarmos as funções, escolhemos $u=\cos x$ e $dv=3e^{3x}\,dx$.

Então, observe que devemos encontrar o diferencial $du$ e $v$. Para isso, diferenciamos a expressão em $u$ e integramos o diferencial $dv$:

$u'=(\cos x)'$

Aplique a regra da cadeia e calcule a derivada da função cosseno, lembrando que $(\cos x)'=-\sin x$

$du=-\sin x\,dx$

Então, integramos o diferencial $dv$

$\displaystyle{\int dv=\int 3e^{3x}\,dx$

Fazendo uma substituição $t=3x$, derivamos ambos os lados da expressão para encontrarmos o diferencial $dt$:

$t'=(3x)'$

Lembre-se que:

• A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada pelo produto entre a constante e a derivada da função: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Assim, teremos

$dt=3\,dx$

Observe que esta expressão já está presente na integral, logo substituímos:

$\displaystyle{\int dv=\int e^t\,dt}$

Lembre-se que $\displaystyle{\int dv =v}$ e  $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x}$, logo

$v=e^t$

Desfaça a substituição $t=3x$

$v=e^{3x}$

Substituindo estas informações na fórmula de integral por partes, teremos

$\displaystyle{\int 3e^{3x}\cos x\,dx=\cos x\cdot e^{3x}-\int e^{3x}\cdot(-\sin x\,dx)}$

Multiplique os valores

$I=\displaystyle{\cos x\cdot e^{3x}+\int e^{3x}\cdot\sin x\,dx}$

Veja que devemos aplicar novamente a técnica de integração por partes: escolhemos $u=\sin x$ e $dv=e^{3x}\,dx$

Diferenciamos a expressão em $u$ e integramos $dv$:

$u'=(\sin x)'\\\\\ du=\cos x \,dx\\\\\\ \displaystyle{\int \,dv = \int e^{3x}\,dx}$

Integramos da mesma forma que anteriormente, mas lembre-se que dessa vez não temos a constante, logo

$t=3x\\\\\\ dt=3\,dx\\\\\\ dx= \dfrac{dt}{3}$

Substituindo estes dados na integral, temos

$v=\displaystyle{\int e^t\cdot\dfrac{dt}{3}}$

Aplique a regra da constante

$v=\displaystyle{\dfrac{1}{3}\cdot\int e^t\,dt}$

Calcule a integral e desfaça a substituição

$v=\dfrac{e^t}{3}\\\\\\ v=\dfrac{e^{3x}}{3}$

Substituindo estas expressões na fórmula de integração por partes, temos

$I=\displaystyle{\cos x\cdot e^{3x}+\left(\sin x\cdot \dfrac{e^{3x}}{3}-\int \dfrac{e^{3x}}{3}\cdot \cos x\,dx\right)$

Aplique a propriedade da constante e retire os valores dos parênteses

$I=\displaystyle{\cos x\cdot e^{3x}+\sin x\cdot \dfrac{e^{3x}}{3}-\dfrac{1}{3}\cdot\int e^{3x}\cdot \cos x\,dx$

Observe que a integral que temos é a mesma que iniciamos, porém dividida por $3$. Dessa forma, substituímos:

$I=\cos x\cdot e^{3x}+\sin x\cdot \dfrac{e^{3x}}{3}-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{I}{3}$

Multiplique as frações

$I=\cos x\cdot e^{3x}+\sin x\cdot \dfrac{e^{3x}}{3}-\dfrac{I}{9}$

Some $\dfrac{I}{9}$ em ambos os lados da equação

$I+\dfrac{I}{9}=\cos x\cdot e^{3x}+\sin x\cdot \dfrac{e^{3x}}{3}$

Some as frações

$\dfrac{10I}{9}=\dfrac{3\cos x\cdot e^{3x}+\sin x\cdot e^{3x}}{3}$

Multiplique ambos os lados da equação por $\dfrac{9}{10}$

$I={\dfrac{3\cos x\cdot e^{3x}+\sin x\cdot e^{3x}}{3}\cdot\dfrac{9}{10}$

Multiplique as frações

$I=\dfrac{9\cos x\cdot e^{3x}+3\sin x\cdot e^{3x}}{10}$

Fatore a expressão

$I=\dfrac{3e^{3x}\cdot(3\cos x+\sin x)}{10}$

Adicione a constante de integração

$I=\dfrac{3e^{3x}\cdot(3\cos x+\sin x)}{10}+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.