Question

resolver fatorial
(n-1)! (n+2)! / n! (n+1) ! =2

Answer 1

Temos a seguinte equação com fatorial:

$\tt\dfrac{(n-1)!\cdot (n+2)!}{n!\cdot (n+1)!}=2$

O fatorial é uma fórmula matemática representada por um ponto de exclamação “!”. Dado um número n, “n fatorial” (escrito n!). Essa exclamação significa que todos os inteiros positivos devem ser multiplicados do número atribuído ao número um, ou seja, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a "n".

Para calcular o fatorial de um número devemos multiplicar uma série de números descendentes, ou você também pode interpretar uma série de números desde o número 1 até o número cujo fatorial você deseja conhecer.

Levando isso em conta, podemos expressar essa equação com fatorial como o seguinte produto de inteiros:

$\tt\dfrac{\left[(n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot...\cdot 2\cdot1\right]\cdot \left[(n+2)\cdot(n+1)\cdot n\cdot ...\cdot 2\cdot 1\right]}{\left[n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot 2\cdot1\right]\cdot \left[(n+1)\cdot n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot 2\cdot1\right]}=2$

Encontrar o valor do produto de toda essa equação poderia ser dito ser impossível de fazer com a mente humana ou com um computador, o que vamos fazer é expressar essa expressão de forma equivalente, para isso não vamos fazer o produto de todos esses números naturais o que vamos fazer é eliminar o fatorial pouco a pouco. Se simplesmente expandirmos n! e o (n+2)!, podemos expressar esta expressão na forma:

$\tt\dfrac{ \red{(n-1)!}\cdot \left[(n+2)\cdot \blue{(n+1)!}\right]}{\left[n\cdot \red{(n-1)!}\right]\cdot \blue{(n+1)!}}=2$

Podemos pensar que essa expressão não é a mesma que tínhamos antes desde o início, pois parece muito diferente da expressão anterior, mas logicamente não alteramos nada, pois essa mesma expressão pode ser expressa como o produto anterior, portanto, graças a isso forma equivalente podemos eliminar todos os termos equivalentes e assim eliminar o fatorial. Eliminando o (n-1)! e o (n+1)! podemos obter a equação:

$\tt\dfrac{\cancel{ \red{(n-1)!}}\cdot \left[(n+2)\cdot \cancel{\blue{(n+1)!}}\right]}{\left[n\cdot \cancel{\red{(n-1)!}}\right]\cdot\cancel{ \blue{(n+1)!}}}=2\\\\\\ \tt \dfrac{(n+2)}{n}=2$

Podemos ver muito bem que essa equação que antes parecia muito complexa foi transformada em uma equação muito mais simples de realizar, pois é apenas uma equação de primeiro grau. Para encontrar o valor de n para esta equação, podemos simplesmente multiplicar n em ambas as partes da equação para eliminar o n no denominador.

$\tt \dfrac{(n+2)}{\not\!\! \: n}\cdot\not\!\! \: n=2\cdot n\\\\ \tt(n+2)=2n\\\\\\\tt Resolvendo~a~ equac_{\!\!,}\~ao ~apenas ~para ~n~ obtemos ~como ~valor:\\\\\\ \tt \not\!\!n+2-\not\!\!n=\not\!\!2n-\not\!\!n\\\\\\ \boxed{\tt 2=n}$

Concluímos que o valor de n é igual a 2 para esta equação com fatorial.