Question

Resolver em R, a equação exponencial:
5^{3-x} -4* 5^{x+4} -25=3* 5^{2-x} + 9* 5^{x+5} [/tex]

Answer 1

Eae meu velho,

podemos desmembrar a equação

$5^{3-x}-4\cdot5^{x+4}-25=3\cdot5^{2-x}+9\cdot5^{x+5}$

em potências de base 5, lembrando de algumas propriedades da exponenciação..

$\boxed{a^{m+n}\Rightarrow a^m\cdot a^n}$
$\boxed{a^{-m}\Rightarrow \dfrac{1}{a^m}}$

..e empregar alguns conhecimentos de equação do 2° grau..

$5^3\cdot5^{-1}-4\cdot5^x\cdot5^4-25=3\cdot5^2\cdot5^{-x}+9\cdot5^x\cdot5^5\\ 125\cdot \dfrac{1}{5^x}-4\cdot625\cdot5^x-25=3\cdot25\cdot \dfrac{1}{5^x}+9\cdot3.125\cdot5^x\\\\ \dfrac{125}{5^x}-2.500\cdot5^x-25= \dfrac{75}{5^x}+28.125\cdot5^x\\\\ \dfrac{125}{5^x}- \dfrac{75}{5^x}-2.500\cdot5^x-28.125\cdot5^x-25=0\\\\ \dfrac{50}{5^x}-30.625\cdot5^x-25=0$

Agora, usaremos uma variável auxiliar, $5^x=y$..

$\dfrac{50}{y}-30.625\cdot y-25=0~~(multiplica~os~inteiros~por~y)\\\\ 50-30.125y^2-25y=0~~(multplica~por~-1)\\ 30625y^2+25y-50=0~~(divide~toda~a~equ.~por~25)\\1.225y^2+y-2=0~~(equ.~do~2^o~grau)\\\\ \Delta=b^2-4ac\\ \Delta=1^2-4\cdot1.225\cdot(-2)\\ \Delta=1+9.800\\ \Delta=9.801\\\\\\ y= \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}= \dfrac{-1\pm \sqrt{9.801} }{2\cdot1.225}= \dfrac{-1\pm99}{2.450}\Rightarrow\begin{cases}y'= \dfrac{98}{2.450}= \dfrac{1}{25} \\\\ y''= -\dfrac{2}{49} \end{cases}$

Observe que a segunda raiz não serve. Podemos retomar a variável original..

$5^x=y\\\\ 5^x= \dfrac{1}{25}\\\\ 5^x= \dfrac{1}{5^2}\\\\ \not5^x=\not5^{-2}\\\\ x=-2\\\\\\ \huge\boxed{\boxed{S=\{-2\}}}$

Tenha ótimos estudos, e qualquer dúvida me chame aqui ;D