Question

Resolver a seguinte equação trigonométrica:

sin³x + cos³x = 1

Answer 1

Olá Vinícius.


_____________

Identidade

sen²x + cos²x = 1

_____________


Queremos encontrar a solução da seguinte equação.

sen³x + cos³x = 1

Faça:

senx + cosx = k

Eleve ambos os lados ao quadrado.


sen²x + 2senx . cosx + cos²x = k²


Usando a identidade destacada no início.


1 + 2senx . cosx = k²

senx . cosx = (k² - 1)/2


Portanto,


sen³x + cos³x = 1

(senx + cosx)(sen²x - senx . cosx + cos²x) = 1

k . [1 - (k² - 1)/2] = 1

k . (- k² + 3)/2 = 1

- k³ + 3k = 2

k³ - 3k + 2 = 0


Note que k = 1 é solução. Vamos fazer aparecer então k - 1 na expressão acima para fatorar.


k³ - 3k + 2 = 0

k³ - k - 2k + 2 = 0

k . (k² - 1) - 2 . (k - 1) = 0

k . (k - 1)(k + 1) - 2 . (k - 1) = 0

(k - 1)[k . (k + 1) - 2] = 0

(k - 1)(k² + k - 2) = 0


Note que k = 1 é solução de k² + k - 2 = 0. Como a soma das raízes é - 1, então a outra raiz será - 2.

k² + k - 2 = (k - 1)(k + 2)

Porém, k = - 2 não tem solução, pois:

senx ≥ - 1 e cosx ≥ - 1

Então a única chance de k ser igual a - 2, seria somente se senx = cosx = - 1, o que jamais ocorre. Pois se um deles é igual a - 1 o outro será 0.

Logo, k = 1.

Então temos que:

senx + cosx = 1

cosx = 1 - senx

Substituindo cosx na identidade acima.

sen²x + cos²x = 1

sen²x + (1 - senx)² = 1

sen²x + sen²x - 2senx + 1 = 1

2sen²x - 2senx = 0

senx . (senx - 1) = 0


Logo, senx = 1 ou senx = 0.

Se senx = 1, então cosx = 0

Se senx = 0, então cosx = 1

Portando nosso conjunto solução é,


S1 = {2kπ : k e Z} V S2 = {π/2 + 2kπ : k e Z}



Dúvidas ? Comente.

Answer 2

Oie, Td Bom?!

sin(x)³ + cos(x)³ = 1

• Substitua sin(t) = 2tan(t/2)/[1 + tan(t/2)²] e cos(t) = [1 - tan(t/2)²]/[1 + tan(t/2)²].

(2tan(x/2)/[1 + tan(x/2)²])³ + ([1 - tan(x/2)²]/[1 + tan(x/2)²])³ = 1

• Substitua t = tan(x/2) e simplifique até a sua forma reduzida.

(2t/[1 + t²])³ + ([1 - t²]/[1 + t²])³ = 1

8t³/[(1 + t²)³] + [(1 - t²)³]/[(1 + t²)³] = 1

8t³/[(1 + t²)³] + [1 - 3t² + 3t⁴ - t⁶]/[(1 + t²)³] = 1

8t³/[(1 + t²)³] + [1 - 3t² + 3t⁴ - t⁶]/[(1 + t²)³] - 1 = 0

[8t³ + 1 - 3t² + 3t⁴ - t⁶ - (1 + t²)³]/[(1 + t²)³] = 0

[8t³ + 1 - 3t² + 3t⁴ - t⁶ - (1 + 3t² + 3t⁴ + t⁶)]/[(1 + t²)³] = 0

[8t³ + 1 - 3t² + 3t⁴ - t⁶ - 1 - 3t² - 3t⁴ - t⁶]/[(1 + t²)³] = 0

[8t³ - 6t² - 2t⁶]/[(1 + t²)³] = 0

8t³ - 6t² - 2t⁶ = 0 ... Forma reduzida

• Agora encontre as raízes (simplifique até lá).

2t² . (4t - 3 - t⁴) = 0

2t² . (- t⁴ + 4t - 3) = 0

2t² . (- t⁴ + t³ - t³ + t² - t² + 4t - 3) = 0

2t² . (- t³ . (t - 1) - t² . (t - 1) - t . (t - 1) + 3(t - 1)) = 0

2t² . (- (t - 1) . (t³ + t² + t - 3)) = 0

2t² . (- (t - 1) . (t³ - t² + 2t² - 2t + 3t - 3)) = 0

2t² . (- (t - 1) . (t² . (t - 1) + 2t . (t - 1) + 3(t - 1))) = 0

2t² . (- (t - 1) . (t - 1) . (t² + 2t + 3)) = 0

2t² . (- (t - 1)² . (t² + 2t + 3)) = 0

- 2t² . (t - 1)² . (t² + 2t + 3) = 0

t² . (t - 1)² . (t² + 2t + 3) = 0

... t² = 0 ⇒ t = 0

... (t - 1)² = 0 ⇒ t = 1

... t² + 2t + 3 = 0 ⇒ t∉ℝ (não serve)

• Devolva a substituição t = tan(x/2).

• tan(x/2) = 0

x/2 = kπ, k∈Z

x = 2kπ , k∈Z

• tan(x/2) = 1

x/2 = arctan(1)

x/2 = π/4

x/2 = π/4 + kπ, k∈Z

x = π/2 + 2kπ , k∈Z

• Dado que a substituição apenas pode ser usada quando x ≠ π + 2kπ , k∈Z, verifique que x = π + 2kπ , k∈Z é também uma solução da equação.

sin(π + 2kπ)³ + cos(π + 2kπ)³ = 1

sin(π)³ + cos(π)³ = 1

0³ + (- 1)³ = 1

0 - 1 = 1

- 1 = 1 ... Falso

• Dado que a afirmação é falsa para qualquer valor de x, π + 2kπ , k∈Z não é uma solução, logo, não a inclua.

S = {2kπ , k∈Z

{π/2 + 2kπ , k∈Z

Att. Makaveli1996