Question

Resolver a seguinte equação (Equação de Euler-Cauchy):
(2x + 3)²d²y/dx² + (2x + 3)dy/dx + y = 0

Answer 1

1) Hagamos el cambio de variable: $z= 2x+3$ entonces se tiene
    
       $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dz}\cdot \dfrac{dz}{dx}=2\cdot\dfrac{dy}{dz}$

Por ende $\dfrac{d^2y}{dx^2}=2\cdot \dfrac{d^2y}{dz^2}$

2) sustituimos (1) en la EDO propuesta

                              $2z^2y''+zy'+y=0$

3) Luego suponemos que la solución es de la forma $y=z^n$, entonces
                        $y'=nz^{n-1}\;,\; y'' = n(n-1)z^{n-2}$

4) sustituimos (3) en (2)

         $2z^2[n(n-1)z^{n-2}]+znz^{n-1}+z^n=0\\ \\ z^n[2n(n-1)+n+1]=0\\ \\ z^n(2n^2-n+1)=0 \\ \\.$

Resolvemos $2n^2-n+1=0$

        $n=\dfrac{1\pm\sqrt{1-8}}{4}=\dfrac{1}{4}\pm \dfrac{\sqrt{7}}{4}i$

Entonces la solución es

               $y=z^{1/4}\left[c_1\cos \left(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\ln z\right)+c_2\sin \left(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\ln z\right)\right]$

5) retornando a la variable original z = 2x + 3

           $\boxed{y=(2x+3)^{1/4}\left\{c_1\cos \left[\dfrac{\sqrt{7}}{4}\ln (2x+3)\right]+c_2\sin \left[\dfrac{\sqrt{7}}{4}\ln (2x+3)\right]\right\}}$