Question

Mostre que $\lim_{n \to \ 1} \frac{ e^{ b^{2}x- b^{2} } -1}{ \sqrt{x} -x}$ $=-2b^{2}$ sem recorrer à regra de L'Hôpital (isto é, sem derivar o numerador e o denominador).

Answer 1

Utilizaré el siguiente límite
                   $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$

entonces tenemos

        $L= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ e^{ b^{2}x- b^{2} } -1}{ \sqrt{x} -x} \\ \\ \\ L= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ e^{ b^{2}(x-1) } -1}{ \sqrt{x} -x} \\ \\ \\ L= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ e^{ b^{2}(x-1) } -1}{ \sqrt{x} -x}\cdot \dfrac{\sqrt{x}+x}{\sqrt{x}+x} \\ \\ \\ L= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ [e^{ b^{2}(x-1) } -1](\sqrt{x}+x)}{ x -x^2}$

        $L= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ [e^{ b^{2}(x-1) } -1](\sqrt{x}+x)}{ -x(x-1)}\\ \\ \\ L= -\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ e^{b^{2}(x-1)} -1}{x-1}\cdot \dfrac{\sqrt{x}+x}{x}\\ \\ \\ L= -\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ e^{b^{2}(x-1)} -1}{x-1}\cdot \lim\limits_{x \to 1}\dfrac{\sqrt{x}+x}{x}$

        $L= -2\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ e^{b^{2}(x-1)} -1}{x-1}\\ \\ \\ \text{Haciendo }x-1=y\text{ , entonces }y\to 0\\ \\ L= -2\lim\limits_{y\to 0} \dfrac{ e^{b^{2}y} -1}{y}\\ \\ \\ L= -2\lim\limits_{y\to 0} \dfrac{ e^{b^{2}y} -1}{b^2y}\cdot b^2$

        $L= -2b^2\lim\limits_{y\to 0} \dfrac{ e^{b^{2}y} -1}{b^2y}\\ \\ \\ \boxed{L= -2b^2}$