Question

Resolver a seguinte equação (equação de Euler-Cauchy):
(1 + x)³ d³y/dx³ + 9(1 + x)² d²y/dx² + 18(1 + x) dy/dx + 6y = Lg(1 + x)

Answer 1

Empecemos con un cambio de variable
1) z = x + 1

Notando que
         $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dz}\cdot \dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dy}{dz}$

y por ende
             $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d^2y}{dz^2}\;\;,\;\;\dfrac{d^3y}{dx^3}=\dfrac{d^3y}{dz^3}$

2) sustituimos y tenemos

     $z^3\dfrac{d^3y}{dz^3}+9z^2\dfrac{d^2y}{dz^2}+18z\dfrac{dy}{dz}+6y=\log z$

3) resolvamos la EDO Homogénea
         $z^3\dfrac{d^3y}{dz^3}+9z^2\dfrac{d^2y}{dz^2}+18z\dfrac{dy}{dz}+6y=0$ (*)

Para ello suponemos que una solución es de la forma $y=z^n$, por consiguiente
          $y'=nz^{n-1}\;,\; y''=n(n-1)z^{n-2}\;,\; y'''=n(n-1)(n-2)z^{n-3}$

y al reemplazar en la EDO (*) se obtiene

         $z^n(n^3+6n^2+11n+6)=0\\ \\ n^3+6n^2+11n+6=0\\ \\ (n+1)(n+2)(n+3)=0$

Así se ve que la solución complementaria es
                    $y_c=C_1 z^{-1}+C_2 z^{-2}+C_3 z^{-3}$

4) ahora solucionemos la EDO (2) por el método de variación de parámetros, para ello llevémosle a su forma normal

     $\dfrac{d^3y}{dz^3}+\dfrac{9}{z}\cdot \dfrac{d^2y}{dz^2}+\dfrac{18}{z^2}\cdot \dfrac{dy}{dz}+\dfrac{6}{z^3}\cdot y=\dfrac{\log z}{z^3}$

solo nos servirá el término que está a la derecha de la igualdad, entonces hallemos primero el Wronskiano

            $W=\left|\begin{matrix} z^{-1}&z^{-2}&z^{-3}\\ -z^{-2}&-2z^{-3}&-3z^{-4}\\ 2z^{-3}&6z^{-4}&12z^{-5}\\ \end{matrix}\right| =-2z^{-9}$

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$W_1=\left|\begin{matrix} 0&z^{-2}&z^{-3}\\ 0&-2z^{-3}&-3z^{-4}\\ \dfrac{\log z}{z^3}&6z^{-4}&12z^{-5} \end{matrix}\right| = -\dfrac{\log z}{z^9}$


$W_2=\left|\begin{matrix} z^{-1}&0&z^{-3}\\ -z^{-2}&0&-3z^{-4}\\ 2z^{-3}&\dfrac{\log z}{z^3}&12z^{-5} \end{matrix}\right| = \dfrac{2\log z}{z^8}$


$W_3=\left|\begin{matrix} z^{-1}&z^{-2}&0\\ -z^{-2}&-2z^{-3}&0\\ 2z^{-3}&6z^{-4}&\dfrac{\log z}{z^3} \end{matrix}\right|=-\dfrac{\log z}{z^7}$

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Luego 

           $u_1'=\dfrac{W_1}{W}=\dfrac{1}{2}\log z\to \boxed{u_1=\dfrac{z\ln z - z}{2\ln 10}}\\ \\ \\ u_2'=\dfrac{W_2}{W}=-2z\log z\to \boxed{u_2=-\dfrac{1}{2\ln 10}\left(z^2\ln z-\dfrac{z^2}{2}\right)}\\ \\ \\ u_3'=\dfrac{W_3}{W}=\dfrac{1}{2}z^2\log z\to \boxed{u_3=\dfrac{1}{6\ln 10}\left(z^3\ln z-\dfrac{z^3}{3}\right)}\\ \\ \\ \\ \\.$

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y así se tiene la solución particular 

          $y_p=u_1 z^{-1}+u_2 z^{-2}+u_3 z^{-3}\\ \\ \boxed{y_p=\dfrac{1}{6}\log z-\dfrac{11}{36\ln 10}}$

y por ende la solución de la EDO (2)

        $\boxed{y=C_1z^{-1}+C_2z^{-2}+C_3z^{-3}+\dfrac{1}{6}\log z-\dfrac{11}{36\ln 10}}$

5) retornamos a z = x + 1, para tener la solución definitiva a la EDO propuesta

           $\boxed{y=\dfrac{C_1}{x+1}+\dfrac{C_2}{(x+1)^2}+\dfrac{C_3}{(x+1)^3}+\dfrac{1}{6}\log (x+1)-\dfrac{11}{36\ln 10}}$