Question

Resolver a seguinte Equação Diferencial de Ricatti a seguir:

Answer 1

Conteúdo:

• Equação Diferencial de Ricatti

$\huge {\boxed {\blue {\sf \cfrac{dy}{dx} = P(x) + Q(x) \cdot y+ R(x) \cdot y^2 }}}$

$\huge { \sf y(x) = y_1(x) + z(x) }$

$\huge { \sf z(x) = tg(x) + z(x) = z = y - tg(x) }$

✍ Em termos de u, fica assim:

$\huge {\boxed {\purple {\sf \cfrac{du}{dx} -u (Q + 2y_1 \cdot R) = R \cdot u^2 }}}$

$\huge {\text { \red {\sf \cfrac{dz}{dx} - z (-tg \: xy + 2 \cdot tg(x) \cdot 1) = z^2 \cdot 1 } }}$

$\huge {\text { \red {\sf \cfrac{dz}{dx} -tan \left(x\right) z = z^2 } }}$

☣ Agora devemos usar Bernoulli:

$\huge { \sf z^{-2} \cfrac{dz}{dx}- tg (x) z^{-1} = 1}$

→ Agora é substituição:

$\huge {\boxed {\bf w = z^{-1} \quad e \quad \cfrac{dw}{dx} = -z^2\cfrac{dz}{dx} }}$

$\huge {\text { \blue {\sf -\cfrac{dw}{dz} - tg (x) w = 1 } }}$

$\huge {\text { \blue {\sf \cfrac{dw}{dz} -+ tg (x) w =-1 } }}$

❒ Agora iremos usar a forma de Lagrange para resolver, pois trata-se de uma equação linear!

$\huge { \sf \bf w =e ^{-\int\limits tg(x) \: dx} \left[ \displaystyle \int\limits e^{\int\limits tg(x) } (-1) \: dx + C \right ] }$

$\huge {\text { \purple {\sf w =e ^{-In \: (sec (x)) \: dx} \left[ \displaystyle \int\limits e^{ In \:(sec(x)) } (-1) \: dx + C \right ] } }}$

$\huge {\text { \red {\sf w = \cfrac{1}{sec(x)} \left[ \displaystyle \int\limits -sec(x) \: \: dx + C \right ] } }}$

$\huge {\text { \green {\sf w = \cfrac{1}{sec(x)} \left ( \left[ In \: (sec (x) + tg (x))+ C \right ] }\right) }}$

$\huge {\text { \blue {\sf w = \cfrac{- In \: (sec (x) + tg(x) ) +C}{sec(x)} } }}$

Se $\large {\sf w = z^{-1} }$

$\huge {\text { \red { \sf z^{-1} = \cfrac{-In \: (sec (x) + tg (x) ) + C}{sec (x)} } }}$

$\huge {\text { \pink { \sf z = \cfrac{ sec (x) }{ - In \: (sec (x) + tg (x) ) + C} } }}$

☞ Provando ainda que y₁ é a solução particular e encontrando o resultado da EDO.

$\huge {\boxed { \boxed{ \bf y = \cfrac{ sec (x) }{ - In \: (sec (x) + tg (x) ) + C} + tg (x) }}}$

• Bons Estudos!