Question

Resolver a inequação | cos x | < √3/2
(com explicação e calculo, pf, estou com duvidas)

Answer 1

Resposta:

[tex]|cosx|<\frac{\sqrt{3} }{2} \\\\-\frac{\sqrt{3} }{2}

Answer 2

$\displaystyle \sf |cos(x)|<\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ \boxed{\begin{array}{I} \sf \text{De{f}ini{\c c}{\~a}o de m{\'o}dulo } \\\\ \sf | y | = y \ , se\ y \geq 0 \\\\ \sf |y| = -y \ , \ se\ y < 0\end{array} } \\\\ Da{\'i}} : \\\\ 1^\circ \ caso : \\\\ cos(x) < \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 2^\circ \ caso : \\\\ cos(x) > \frac{-\sqrt{3}}{2}\\\\ Ent{\~a}o : \\\\\ \frac{-\sqrt{3}}{2} < cos(x) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle \sf cos\left(\frac{5\pi}{6}+2\cdot k\cdot \pi \right) < cos(x) < cos\left(\frac{\pi}{6}+2\cdot k\cdot \pi \right)$

MUITO CUIDADO AGORA.

Olhando para o círculo trigonométrico do cosseno.
Abaixo de 30º (π/6) é maior que raiz de 3 sobre 2, ou seja, precisamos de ângulos maiores que (π/6)
E acima de 150º é maior que menos raiz de 3 sobre, ou seja, precisamos de ângulos menores que (5π/6)

Portanto :

$\displaystyle \sf \left(\frac{\pi }{6} + 2\cdot k \cdot \pi\right) < x < \left(\frac{5\pi }{6} + 2\cdot k \cdot \pi\right) \ \ ;\ \ k\in\mathbb{Z}$

Agora pegando seus correspondentes nos quadrantes restantes :

$\displaystyle \sf \left(\pi + \frac{\pi }{6} + 2\cdot k \cdot \pi\right) < x < \left(2\pi - \frac{5\pi }{6} + 2\cdot k \cdot \pi \right) \ \ ;\ \ k\in\mathbb{Z} \\\\\\\ \displaystyle \sf \left(\frac{7\pi }{6} + 2\cdot k \cdot \pi\right) < x < \left(\frac{11\pi }{6} + 2\cdot k \cdot \pi\right) \ \ ;\ \ k\in\mathbb{Z}$

OBS : Precisamos colocar o 2.k.π ( arcos côngruos ), já que o intervalo não foi determinado.

CONJUNTO SOLUÇÃO :

$\boxed{\begin{array}{I }\\\ \displaystyle \sf \left(\frac{\pi }{6} + 2\cdot k \cdot \pi\right) < x < \left(\frac{5\pi }{6} + 2\cdot k \cdot \pi\right) \ \ ;\ \ k\in\mathbb{Z} \\\\\\\ \displaystyle \sf OU \\\\\\ \displaystyle \sf \left(\frac{7\pi }{6} + 2\cdot k \cdot \pi\right) < x < \left(\frac{11\pi }{6} + 2\cdot k \cdot \pi\right) \ \ ;\ \ k\in\mathbb{Z} \\\ \end{array}} \checkmark$