Question

Resolver a inequação -√3 < tg x < √3/3​

Answer 1

Vamos usar x como unidade de medida em graus pra facilitar.

Nós sabemos algumas informações, como tan 30°=√3/3, tan 45°=1 e tan 60°=√3

Vamos substituir;

-√3 < tan x < √3/3

-tan 60° < tan x < tan 30°

-tan 60°= tan -60°

Considerando apenas o 1° quadrante, ou seja, de 0° a 90°, temos que;

tan -60°< tan 0° ≤ tan x < tan 30°

s={ 0° ≤ x < 30° } para x em graus.

s={ 0 ≤ x < π/6 } para x em radianos.

Não considerando apenas o 1° quadrante, temos que;

A tangente repete o ciclo a cada 360°, ou seja, as tangentes tan t = tan (t+360°) = tan (t-360°), e assim por diante.

Logo, temos que;

s={ x | -60°+360°(k) < x < 30°+360°(k), para k ∈ℤ } para x em graus.

s={ x | -π/3+2π(k) < x <  π/6 +2π(k), para k ∈ℤ } para x em radianos.

Answer 2

Resposta:

( 0 + 2kπ ; π/6 + 2kπ )    ∪    ( 2π/3 + 2kπ ; 7π/6 + 2kπ )     ∪  

∪     ( 5π/3 + 2kπ ; 2π + 2kπ )

Explicação passo a passo:

- √3 < tg (x) <  √3 /3  

Análise de 0 a 2π

Esta inequação desdobra-se em duas

Primeira parte da inequação

- √3  <  tg (x)

Pode - se  escrever , trocando a posição dos membros

tg (x) > - √3

Que abrange a zona :

0  <  x <  π/2     U      2π/3  <  x  <  3π/2       U      5π/3  <  x  <  2π

Segunda parte da inequação

tg (x) < √3 / 3

Que abrange a zona:

0  <  x  <  pi/6       U      pi/2 <  x < 7pi/6        U     3pi/2  <  x <  2pi

Esboço dos intervalos da Primeira parte da inequação

( anexo 1 )

0º           90º         120º                 270º        300º           360º

0             π/2        2π/3                  3π/2        5π/3             2π

x/////////////x-----------x/////////////////////x-----------x/////////////////x

 

Esboço dos intervalos da Segunda parte da inequação

( anexo 2 )

0      30º    90º                  210º       270º                         360º

0       π/6     π/2                  7π/6       3π/2                            2π

x\\\\\\\\x-------x\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\x----------x\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\x

Agora faz-se a interseção do primeiro grupo de intervalos com o

segundo grupo de intervalos.

Só interessa o que for comum aos dois grupos

0      30º             120º          210º               300º             360º

0      π/6            2π/3          7π/6               5π/3              2π

x++++x                  x+++++++++x                   x++++++++++x

( 0 ; π/6 )     ∪      ( 2π/3 ; 7π/6 )     ∪     ( 5π/3 ;  2π )

Generalização

( 0 + 2kπ ; π/6 + 2kπ )     ∪    ( 2π/3 + 2kπ ; 7π/6 + 2kπ )      ∪  

∪     ( 5π/3 + 2kπ ; 2π + 2kπ )    com k ∈ Z

Observação final → Em todos os intervalos coloquei em π radianos e em graus.

O objetivo foi obter maior eficácia na formação dos intervalos.

A resposta vem em π radianos.

Bons estudos .

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( ∪ )  união ou reunião de conjuntos        ( ∈ )  pertencente a

( Z ) conjunto de números inteiros           ( / )  dividir  

( < )  menor do que      ( > ) maior do que