Question

Resolver a Equação Diferencial homogênea utilizando a substituição:

Answer 1

$f(x,y) = \frac{x-y}{x} \\f( kx, ky) = \frac{kx-ky}{kx} = \frac{k( x-y)}{kx} = \frac{x-y}{x}$

Answer 2

Conteúdo:

            Equação Diferencial Homogênea

Resolução:

• Uma EDO linear de primeira ordem possui a forma:

$\large{ \sf y' \left ( x \right ) + p \left( x \right ) y=q \left ( x \right ) : }$

• Substituir  $\large { \sf \: \cfrac{dy}{dx} \: }$ com y':

     $\large {\sf y' = \cfrac{x-y}{x} }$

• Reescrever como uma EDO linear de primeira ordem:

       $\large { \sf y' + \cfrac{1}{x}\: y = 1 }$

• Agora temos que encontrar o fator integrante:

      $\large { \sf u(x)= x }$

• Escrever a equação com a forma:

     $\large { \sf (u (x) \cdot y) ' = u(x) \cdot q(x) \: \Rightarrow \quad (xy) ' = x}$

• Resolver $\large { \bf (xy)' = x \: \Longrightarrow \quad y = \cfrac{x}{2} + \cfrac{c_1}{x} }$

        $\large {\boxed {\boxed {\bf y = \cfrac{x}{2}+ \cfrac{c_1}{x} }}}$