Question

Resolver a equação diferencial homogênea usando o método de mudança de variável

obs: a substituição indicada é y= u.x

algum anjinho pra me ajudar? se for responder pra ganhar ponto denuncio

Answer 1

dy/dx=(x+3y)/(3x+y)

(3x+y)dy=(x+3y) dx

y=ux  e dy=udx+xdu

(3x+ux)*(u dx+xdu)-(x+3ux)dx=0

3uxdx+3x²du+u²xdx+ux²du -xdx-3uxdx=0

x²*(3+u) du+x*(u²-1) dx=0

x²*(3+u)/x+x*(u²-1)dx/x=0

x*(u+3)du+(u²-1)dx=0

dx=-x*(u+3)du/(u²-1)

dx/x=-(u+3)/(u-1)*(u+1)

dx/x+(u+3)du/(x-1)*(u+1)=0

∫dx/x+ ∫(u+3)du/(u-1)(x+1)=0

ln|x|+ ∫(u+3)du/(u-1)(x+1)=0

_________________________________

∫(u+3)du/(u-1)(u+1)

***

(u+3)/(u-1)(u+1)  =A/(u-1) +B/(u+1)

(u+3)/(u-1)(u+1)  =[A(u+1) +B(u-1)]/(u-1)(u+1)

(u+3)  =A(u+1) +B(u-1)  

u+3=u*(A+B) +A-B

A+B=1 (i)

A-B=3 (ii)

(i)+(ii)

2A=4 ==>A=2  e B=1-A=1-2=-1

∫(u+3)du/(u-1)(u+1)=∫ 2/(u-1)-1/(u+1) du

=2*ln|u-1| -ln|u+1| + c

__________________________________

ln|x|+ ∫(u+3)du/(u-1)(x+1)=0

ln|x| + 2*ln|u-1| -ln|u+1| + c=0

ln|x| + 2*ln|u-1| -ln|u+1Z = c    ..**ñ importa o sinal de c

ln x *(u-1)²/(u+1)= c

x *(u-1)²/(u+1) =e^c  ...continua sendo c uma constante

x *(u-1)²/(u+1) =c  

x *(u-1)² =c*(u+1)

Lembrando que y=ux

x *(y/x-1)² =c*(y/x+1)

x *(y-x)²/x² =c*(y+x)/x

Ficamos com (y-x)² =c*(y+x)

y²-2yx+x²=cy+cx

y²-y*(2x+c)+x²-cx=0

y'=[2(x+c)+√((2x+c)²-4(x²-cx))]/2

y'=[2(x+c)+√(4x²+4xc+c²-4x²+4cx)]/2

____________________________

y'=[2(x+c)+√(c²+8cx)]/2

y''=[2(x+c)-√(c²+8xc)]/2