Question

Resolver a equação diferencial homogênea a seguir utilizando a substituição

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

$\left(4x\:-\:3y\right)dx\:+\:\left(2y\:-\:3x\right)dy\:=\:0\\(2y - 3x) dy = (3y - 4x) dx\\u = \frac{y}{x} => y =ux \: dy = udx \:+ x \:du\\(2ux - 3x) (udx \:+ x \:du) = (3ux - 4x) dx\\(2u - 3)x (udx \:+ x \:du) = (3u - 4) xdx\\(2u - 3)\: (udx \:+ x \:du) = (3u - 4) dx\\2u^2 dx+ 2uxdu - 3udx -3u du = (3u - 4) dx\\(2u x - 3x)\:du= (3u - 4) dx - (2u^2 -3u)dx\\ (2u x - 3x)\:du= (-2u^2+6u - 4) dx\\ (2u - 3)\:xdu= (-2u^2+6u - 4) dx\\\frac{(2u - 3)}{ (-2u^2+6u - 4) } \:du=\frac{1}{x} \:dx$

$-\frac{(2u - 3)}{ (2(u-2)(u - 1) } \:du=\frac{1}{x} \:dx\\(\frac{3}{ (2(u-2)(u - 1) } - \frac{u}{ ((u-2)(u - 1) } )\:du=\frac{1}{x} \:dx\\\int\limits {(\frac{3}{ (2(u-2)(u - 1) } - \frac{u}{ ((u-2)(u - 1) } )} \, du =\int\limits {\frac{1}{x}} \, dx \\-\frac{ln(u-1)}{2} -\frac{ln(u-2)}{2} = ln(x) + C\\\frac{1}{\sqrt{u-1} \sqrt{u-2} } =e^{C} \,x\\\frac{1}{\sqrt{\frac{y}{x} -1} \sqrt{\frac{y}{x} -2} } =C\,x\\\frac{1}{\sqrt{\frac{y-x}{x} } \sqrt{\frac{y-2x}{x} } } =C\,x$

$x = C\,x\sqrt{y-x} \sqrt{y-2x},\\x= \frac{y}{2} ,\\x= y$