Question

Resolver a Equação Diferencial de Bernoulli a seguir:

Answer 1

A solução da equação diferencial de Bernoulli dada é $\mathsf{y=\pm\sqrt{\dfrac{5x}{5cx^5+2}}.}$

Explicação

Deseja-se resolver a seguinte equação diferencial de Bernoulli:

$\mathsf{x^2y'+2xy-y^3=0.}$

Inicialmente, vamos escrevê-la em sua forma típica "passando" o -y³ para o lado direito e, depois, dividindo ambos os membros por x²:

$\mathsf{x^2y'+2xy-y^3=0}\implies\\\\\\\implies\mathsf{x^2y'+2xy=y^3}\implies\\\\\\\implies\mathsf{y'+2x^{-1}y-x^{-2}y=x^{-2}y^3}$

Agora, divida ambos os membros por y³ para transformar essa equação em uma linear:

$\mathsf{y'+2x^{-1}y-x^{-2}y=x^{-2}y^3}\implies\\\\\\\implies\mathsf{y^{-3}y'+2x^{-1}y^{-2}=x^{-2}}\quad\textsf{(I)}$

Chame $\mathsf{z=y^{-2}}$. Desse modo, tem-se:

$\mathsf{z'=-2y^{-3}y'}\implies\\\\\\\implies\mathsf{y^{-3}y'=\dfrac{z'}{-2}}$

Fazendo uma mudança de variáveis em $\textsf{(I)}$, segue que:

$\mathsf{\dfrac{z'}{-2}+2x^{-1}z=x^{-2}}$

Temos agora uma equação linear de primeira ordem. Vamos colocá-la na forma típica multiplicando ambos os membros por -2:

$\mathsf{z'-4x^{-1}z=-2x^{-2}}\quad\textsf{(II)}$

A solução geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem completa da forma $\mathsf{y'+py=q}$ é dada pela fórmula:

$\boxed{\mathsf{y=e^{-\int p\,dx}\left(\int qe^{\int p\,dx}\,dx+c\right)}}\quad\textsf{(III)}$

Vamos resolver por passos a equação (II) usando essa fórmula. Veja que, no caso de (II), têm-se $\mathsf{p=-4x^{-1}}\textsf{ e }\mathsf{q=-2x^{-2}.}$

1º Passo

Calcular $\displaystyle\mathsf{\int p\,dx}$:

$\displaystyle\mathsf{\int p\,dx=\int-4x^{-1}\,dx=}\\\\\\\mathsf{=-4\cdot\int-4x^{-1}\,dx=}\\\\\\\mathsf{=-4\cdot\int\frac{1}{x}\,dx=}\\\\\\\mathsf{=-4\ln(x)}$

2º Passo

Calcular $\displaystyle\mathsf{\int qe^{\int p\,dx}\,dx}$:

$\displaystyle\mathsf{\int qe^{\int p\,dx}\,dx=}\\\\\\\mathsf{=\int -2x^{-2}e^{-4\ln(x)}\,dx=}\\\\\\\mathsf{=-2\int x^{-2}x^{-4}\,dx=}\\\\\\\mathsf{=-2\int x^{-6}\,dx=}\\\\\\\mathsf{=\frac{2x^{-5}}{5}}$

3º Passo

Substituir na fórmula da solução geral — fórmula (III):

$\displaystyle\mathsf{z=e^{4\ln(x)}\left(\frac{2}{5}x^{-5}+c\right)}\\\\\\\mathsf{z=e^{\ln(x^4)}\left(\frac{2}{5}x^{-5}+c\right)}\\\\\\\mathsf{z=x^4\left(\frac{2}{5}x^{-5}+c\right)}\\\\\\\mathsf{z=\frac{2}{5}x^{-1}+cx^4}\\\\\\\boxed{\mathsf{z=\frac{2}{5x}+cx^4}}$

Como $\mathsf{z=y^{-2},}$ temos:

$\displaystyle\mathsf{y^{-2}=\frac{2}{5x}+cx^4}$

Isolando y, segue que:

$\displaystyle\mathsf{y^{-2}=\frac{2}{5x}+cx^4}\implies\\\\\\\implies\mathsf{\frac{1}{y^2}=\frac{2}{5x}+cx^4}\implies\\\\\\\implies\mathsf{\frac{1}{y^2}=\frac{5cx^5+2}{5x}}\implies\\\\\\\implies\mathsf{y^2=\frac{5x}{5cx^5+2}}\implies\\\\\\\implies\mathsf{y=\pm\sqrt{\frac{5x}{5cx^5+2}}}$

Portanto, a solução da equação diferencial dada é:

$\boxed{\boxed{\mathsf{y=\pm\sqrt{\frac{5x}{5cx^5+2}}}}}$

Dúvidas? Comente.

Espero ter ajudado! :)