Question

resolver a equação: arcsenx = 2 arccosx

Answer 1

$arcsenx = 2 arccosx$

Passo 1: Aplique a função seno nos dois lados (Não muda o resultado, pois a igualdade se mantém).

$sen (arcsenx) = sen(2 arccosx)$

(i) Do lado esquerdo da igualdade temos uma função aplicada na sua inversa, então, será o próprio valor (Identidade) no caso x.

$x = sen(2 arccosx)$

Passo 2: Chame arccosx de Y, então a igualdade acima fica:

$x = sen(2 Y)$

Passo 3: Acima temos a seguinte identidade trigonométrica:

$sen(2 Y) = 2sen(y).cos(y)$

Aplicando a identidade trigonométrica temos:

$x= 2sen(y).cos(y)$

Mas Y = arccosx, então:

$x= 2sen(arccosx).cos(arccosx)$
$x= 2sen(arccosx).x$ (por i)
$\frac{x}{2x} = sen(arccosx)$
$\frac{1}{2} = sen(arccosx)$

Passo 4: Agora vamos passar a função seno para o outro lado, que vai como arcsen:

$arcsen(\frac{1}{2}) = arccosx$

Mas $arcsen(\frac{1}{2})$ é conhecido que é 30º (Pois o sen 30º é $\frac{1}{2}$)

Então nossa expressão fica:

$30 = arccosx$

Passando o accos para o outro lado da igualdade ele vai como cos, então:

$x = cos30 \\ x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Logo $x =\frac{\sqrt{3}}{2}$

O Mozean espera ter ajudado!