Question

Resolvendo o seguinte sistema através da regra de cramer ou por escalonamento, conclui se que:
{x+y-z=5
{3x-2y+z=5
{-x+3y+2z=3
A) x=2 y=3 z=0
B) x=0 y=2 z=3
C) x=3 y= 0 z=2

Answer 1

Vamos lá.

Como é pedido para resolver pela regra de Crammer ou por outro método, então vamos resolver por escalonamento mesmo, que é menos trabalhoso.
Tem-se, portanto, o seguinte sistema:

x + y - z = 5    . (I)
3x - 2y + z = 5    . (II)
- x + 3y + 2z = 3    . (III)

Vamos fazer o seguinte: somaremos, membro a membro, a expressão (I) com a expressão (III). Assim:

x + y - z = 5 --- [esta é a expressão (I) normal]
-x+3y+2z=3 --- [esta é a expressão (III) normal]
------------------------------ somando membro a membro, teremos:
0+4y + z = 8 --- ou apenas

4y + z = 8      . (IV)

Agora tomaremos a expressão (I) e somaremos, membro a membro, com a expressão (II). Assim:

x + y - z = 5 --- [esta é a expressão (I) normal]
3x-2y+z = 5 --- [esta é a expressão (II) normal]
--------------------------- somando membro a membro, teremos:
4x-y + 0 = 10 --- ou apenas:
 
4x - y = 10    . (V)

Finalmente, agora, faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (II) por "3" e multiplicaremos a expressão (III) por "2". Com isso, ficaremos assim:

9x - 6y + 3z = 15 --- [esta é a expressão (II) multiplicada por "3"]
-2x+6y + 4z = 6 ----- [esta é a expressão (III) multiplicada por "2"]
---------------------------- somando-se membro a membro, teremos:
7x + 0 + z = 21 ---- ou apenas:
 
7x + z = 21     . (VI).

Agora veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (IV), (V) e (VI) e que são estas:

4y + z = 8      . (IV)
4x - y = 10      . (V)
7x + z = 21     . (VI).

Vamos trabalhar com a expressão (IV), que é esta:

4y + z = 8
z = 8 - 4y      . (VII)

Agora vamos trabalhar com a expressão (VI), que é esta:

7x + z = 21 ---- substituindo-se "z" por "8-4y" [conforme vimos na expressão (VII)], teremos:

7x + 8-4y = 21
7x - 4y = 21-8
7x - 4y = 13    . (VIII)

Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (V) por "-4" e, em seguida, somaremos com a expressão (VIII). Assim: 

-16x + 4y = - 40 ---- [esta é a expressão (V) multiplicada por "-4"]
...7x - 4y = 13 ------- [esta é a expressão (VIII) normal]
---------------------------- somando membro a membro, teremos:
-9x + 0 = - 27 ----- ou apenas:
- 9x = - 27 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", ficaremos com:
9x = 27
x = 27/9
x = 3 <---- Este é o valor de "x".

Agora, para encontrar o valor de "y", vamos na expressão (V), que é esta:

4x - y = 10 ---- substituindo-se "x" por "3", teremos:
4*3 - y = 10
12 - y = 10
- y = 10 - 12
- y = - 2 ----- multiplicando-se ambos os membros pro "-1", ficaremos:
y = 2 <--- Este é o valor de "y".

Finalmente, para encontrar o valor de "z", vamos na expressão (VII), que é esta:

z = 8 - 4y ---- substituindo-se "y" por "2", teremos:
z = 8 - 4*2
z = 8 - 8
z = 0 <--- Este é o valor de "z".

Assim, resumindo, temos que os valores de "x", "y" e "z" serão:

x = 3; y = 2; z = 0 <--- Esta é a resposta.

Verificando as opções dadas, vemos que nenhuma "bate" com a resposta que demos aí em cima. A que mais se aproxima é a opção "A", mas lá informa que (x=2; y=3; z=0). E o correto deverá ser a resposta que demos aí em cima. Por isso, pedimos pra você rever as opções dadas, certo?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.