Question

Resolvendo a integral:

Resultados e conta em anexo

Answer 1

Calcular

$\displaystyle I=\iiint_{D}f(x,\;y,\;z)\,dz\,dy\,dz\\\\\\=\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int_0^4(x^2+y^2)\,dz\,dy\,dx$

sendo $D$ o sólido de integração;

$f(x,\;y,\;z)=x^2+y^2.$

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Observando os extremos de integração, temos que

$\bullet~~x$ varia entre extremos fixos (constantes):

$-1\le x\le 1$


$\bullet~~y$ varia entre duas funções de $x:$

$-\sqrt{1-x^2}\le y\le \sqrt{1-x^2}$


Observe que $y$ varia entre duas semicircunferências; a saber

$y$ varia entre

a metade abaixo do eixo $x$ da circunferência $x^2+y^2=1$ ($y$ negativo)

e a metade acima do eixo $x$ da mesma circunferência $x^2+y^2=1.$ ($y$ positivo)


Então, a projeção do sólido $D$ sobre o plano $xy$ é o círculo

$x^2+y^2\le 1$

(inclui todos os pontos da circunferência e os pontos em seu interior)


$\bullet~~z$ varia entre duas funções de $x$ e $y.$ Para esta questão, as funções são constantes:

$0\le z\le 4$

$z$ varia entre dois planos. entre o plano $xy$ ($z=0$ ) até o plano $z=4.$

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O sólido de integração $D$ é um tronco de cilindro, cuja seção transversal é um círculo de raio $1$ e altura $4.$

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Mudanças para coordenadas cilíndricas:

$\begin{array}{cc}\left\{ \!\!\begin{array}{l}x=r \cos\theta\\ y=r\,\mathrm{sen\,}\theta\\ z=z \end{array} \right.~~&~~\begin{array}{c}0\le \theta\le 2\pi\\ 0\le r \le 1\\ 0\le z\le 4 \end{array} \end{array}$


O módulo do Jacobiano desta transformação é $|\mathrm{Jac\,}\phi|=r.$

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A função a ser integrada também sofrerá transformação:

$f(x,\;y,\;z)=g(r,\;\theta,\;z)\\\\ x^2+y^2=(r\cos\theta)^2+(r\,\mathrm{sen\,}\theta)^2\\\\ x^2+y^2=r^2\cos^2\theta+r^2\,\mathrm{sen^2\,}\theta\\\\ x^2+y^2=r^2\,(\cos^2\theta+\mathrm{sen^2\,}\theta)\\\\ x^2+y^2=r^2\\\\ \therefore~~\boxed{g(r,\;\theta,\;z)=r^2}$

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Reescrevendo a integral tripla em coordenadas cilíndricas:

$\displaystyle I=\iiint_{D}f(x,\;y,\;z)\,dz\,dy\,dx\\\\\\ =\iiint_{D_{r,\,\theta,\,z}}g(r,\;\theta,\;z)\cdot |\mathrm{Jac\,}\phi|\,dz\,dr\,d\theta\\\\\\ =\iiint_{D_{r,\,\theta,\,z}}r^2\cdot r\,dz\,dr\,d\theta\\\\\\ =\iiint_{D_{r,\,\theta,\,z}}r^3\,dz\,dr\,d\theta\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^4{r^3\,dz\,dr\,d\theta}$

$\displaystyle =\int_0^{2\pi}\int_0^1{r^3\cdot (z)|_0^4\,dr\,d\theta}\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\int_0^1{r^3\cdot (4-0)\,dr\,d\theta}\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\int_0^1{4r^3\,dr\,d\theta}\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\left(r^4 \right )|_0^1\,d\theta\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\left(1^4-0^4 \right )d\theta\\\\\\ =\int_0^{2\pi}\left(1-0 \right )d\theta\\\\\\ =\int_0^{2\pi}1\,d\theta$

$=(\theta)|_0^{2\pi}\\\\ =(2\pi-0)\\\\ =2\pi.$