Question

Resolvendo a integral a seguir por meio de coordenadas polares ∫ ∫ (x²+y²)^(5/2)dA, onde R é a região limitada pelo circulo de raio 1.

Answer 1

Assumindo que o círculo do enunciado tenha centro na origem, a região de integração é

$R=\left\{(x,\,y)\in \mathbb{R}^{2}\left|\,x^{2}+y^{2} \leq 1\right.\}$


E queremos calcular

$\displaystyle\int\int\limits_{R}{(x^{2}+y^{2})^{5/2}\,dy\,dx}$


$\bullet\;\;$ Mudança para coordenadas polares:

$\left\{\begin{array}{l} x=r\cos \theta\\ y=r\,\mathrm{sen\,} \theta \end{array} \right.\\ \\ \\ |\text{Jac\,}\phi|=r$


A função a ser integrada fica:

$f(x,\,y)=(x^{2}+y^{2})^{5/2}\\ \\ =(r^{2})^{5/2}\\ \\ =r^{5}$


Os novos limites para a região de integração são:

$0\leq \theta \leq 2\pi\\ \\ 0\leq r\leq 1$


Substituindo na integral, temos

$\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{1}{r^{5}\cdot |\text{Jac\,}\phi|\,dr\,d\theta}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{1}{r^{5}\cdot r\,dr\,d\theta}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{1}{r^{6}\,dr\,d\theta}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\left.\left(\dfrac{r^{7}}{7} \right )\right|_{0}^{1}\,d \theta\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{7}\,d \theta\\ \\ \\ =\left.\dfrac{\theta}{7}\right|_{0}^{2\pi}\\ \\ \\ =\dfrac{2\pi}{7}$