Question

Resolvendo a integral :

Answer 1

Calcular a integral de linha de um campo vetorial $\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y)$ sobre a curva $C$

sendo o campo $\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y)=(y,\,x)$


e curva $C$ em questão é um segmento de reta:

$y=x\,,~~~~\text{com }0\le x\le 1$


Podemos parametrizar esta curva da seguinte forma:

$C:~\left\{ \begin{array}{l}x(t)=t\\\\ y(t)=t \end{array} \right.~~~~~~~0\le t\le 1$

____________________

A integral pedida é

$\displaystyle\int_C \overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}\\\\\\ =\int_C y\,dx+x\,dy\\\\\\ =\int_0^1 [y(t)\cdot x'(t)+x(t)\cdot y'(t)]\,dt\\\\\\ =\int_0^1 [t\cdot (t')+t\cdot (t)']\,dt$

$=\displaystyle\int_0^1 [t\cdot 1+t\cdot 1]\,dt\\\\\\ =\int_0^1 [t+t]\,dt\\\\\\ =\int_0^1 2t\,dt\\\\\\ =(t^2)|_0^1\\\\ =1^2-0^2\\\\ =1$


Resposta: alternativa $\text{a. }1.$