Question

Resolvendo a expressão
º º º º
sen28 + sen120 + sen208 - sen300
obtém-se

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Sandes, que a resolução é simples.
Tem-se a seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = sen28º+ sen120º + sen208º - sen300º ---- vamos arrumar, ficando da seguinte forma (veja que a ordem das parcelas não altera a soma):

y = sen28º + sen208º + sen120º - sen300º

Faremos o seguinte: vamos transformar em produto os dois primeiros fatores e faremos o mesmo com os dois últimos termos.

Agora veja que, para transformar em produto os dois primeiros termos, faremos assim (lembre-se que: sen(a)+sen(b) = 2sen(a+b)/2*cos(a-b)/2. Assim:


sen28º+sen208º = 2sen(28º+208º)/2*cos*(28º-208º/2) ---- desenvolvendo:
sen28º+sen208º = 2sen(236º/2)*cos(-180º/2) ---- veja que cos(-180º/2)=cos(180º/2). Assim, ficaremos com:

sen28º+sen208º = 2sen(236º/2)*cos(180º/2) ---- efetuando as divisões indicadas, teremos:

sen28º+sen208º = 2sen(118º)*cos(90º) ---- como cos(90º = 0, teremos que:
sen28º+sen208º = 2sen(118º)*0 ---- como tudo vezes zero é zero, teremos:
sen28º+sen208º = 0

Agora vamos para os dois últimos fatores, que são estes:

sen120º - sen300º ---- veja que: sena-senb = 2sen(a-b)/2*cos(a+b)/2. Assim, teremos:

sen120º-sen300º = 2sen(120-300º)/2*cos(120º+300º)/2
sen120º-sen300º = 2sen(-180º/2)*cos(420º/2) --- efetuando as divisões indicadas, teremos:

sen120º-sen300º = 2sen(-90º)*cos(210º)

Agora note que sen(-90º) = -sen(90º). Assim, ficaremos com:

sen120º-sen300º = -2sen(90º)*cos(210º)

Agora note que:

sen(90º) = 1
e
cos(210º) = cos(180º+30º) = -cos(30º) = -√(3)/2 .

Assim, substituindo-se, teremos;

sen120º-sen300º = -2*1*(-√(3)/2
sen120º-sen300º = -2*(-√(3)/2
sen120º-sen300º = 2√(3)/2 ---- simplificando numerador e denominador por "2", ficaremos apenas com:

sen120º-sen300º = √(3) .

Agora vamos levar tudo o que encontramos para a nossa expressão"y", que é esta:

y = sen28º + sen208º + sen120º - sen300º

Como já vimos que: sen28º+sen208º = 0 e que sen120º-sen300º = √(3), teremos:

y = 0 + √(3)  --- ou apenas:

y = √(3)  <--- Esta é a resposta. Este é o valor da expressão da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.