Question

Resolvendo a equação diferencial (x+1)y' = x + 6, encontramos:

y = x + 5 ln | x + 1 | + C
y = ln | x - 5 | + C
y = -3x + 8 ln | x - 2 | + C
y = x + 4 ln| x + 1 | + C
y = -x + 5 ln | x + 1 | + C

Answer 1

Olá

Correta, 1ª alternativa : y = x + 5 ln | x + 1 | + C

EDO por separação de variáveis.


(x+1)y' = x + 6


$\displaystyle\mathsf{y'= \frac{x+6}{x+1} }$


Integrando

$\displaystyle\mathsf{\int y'= \int \frac{x+6}{x+1} }$


Note que:

x + 6 = x + 5 + 1

Substituindo

$\displaystyle\mathsf{\int y'= \int \frac{x+5+1}{x+1} }$


Dividindo em duas frações

$\displaystyle\mathsf{\int y'= \int \frac{x+1}{x+1}+ \frac{5}{x+1} }$


Veja que o que fizemos é valido, pois, se ambas possuem o mesmo denominador, e se juntarmos as duas frações, irá retornar ao valor original,


note que $\displaystyle\mathsf{ \frac{x+1}{x+1} =1}$


$\displaystyle\mathsf{\int y'= \int \left(1+ \frac{5}{x+1}\right) }$


Agora restaram integrais simples.


∫y' = y      ↔   A derivada cancela com a integral
∫1 = x

5∫(1)/(x+1)    ↔  Por substituição

x+1 = u
dx = du


$\mathsf{y=5\ell n|u|+x+C}\\\\\text{u=x+1}\\\\\\\boxed{\mathsf{y=5\ell n|x+1|+x+C}}\qquad\Longrightarrow\qquad 1^a\text{ alternativa}$