Question

resolvendo a equaçao 1/sex²-1/cosx²-1/tgx²-1/secx²-1/cosecx²-1/cotgx²= -3 obtem-se:

Answer 1

Vamos lá.

Tenho a impressão de que esta questão já havia sido resolvida em uma outra mensagem sua. Não me lembro se ela estava escrita exatamente como está agora. Por conta disso, vamos tentar resolver a questão desta mensagem, e tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
A expressão da sua questão é esta:

1/sen²(x) - 1/cos²(x) - 1/tg²(x) - 1/sec²(x) - 1/csc²(x) - 1/cotg²(x) = - 3

Agora veja que:

1/sen²(x) = csc²(x)
1/cos²(x) = sec²(x)
1/tg²(x) = cotg²(x)
1/sec²(x) = cos²(x)
1/csc²(x) = sen²(x)
1/cotg²(x) = tg²(x) .

Assim, fazendo essas substituições, teremos:

csc²(x) - sec²(x) - cotg²(x) - cos²(x) - sen²(x) - tg²(x) = - 3

Veja, novamente, que:

csc²(x) = 1+cotg²(x)
sec²(x) = 1+tg²(x)

Assim, fazendo essas substituições, teremos:

1+cotg²(x) - [1+tg²(x)] - cotg²(x) - cos²(x) - sen²(x) - tg²(x) = - 3 ---- retirando-se os colchetes, ficaremos assim:

1+cotg²(x) - 1 - tg²(x) - cotg²(x) - cos²(x) - sen²(x) - tg²(x) = - 3 ------ reduzindo os termos semelhantes, vamos ficar da seguinte forma:

- 2tg²(x) - cos²(x) - sen²(x) = - 3  ----- para facilitar, vamos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos assim:

2tg²(x) + cos²(x) + sen²(x) = 3 ----- veja que cos²(x)+sen²(x) = 1. Assim:

2tg²(x) + 1 = 3 ----- passando "1" para o 2º membro, teremos:
2tg²(x) = 3 - 1
2tg²(x) = 2 ----- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos apenas com:

tg²(x) = 1
tg(x) = +-√(1) ---- como √(1) = 1, então teremos:
tg(x) = +- 1 ----- ou:

tg(x)' = - 1
tg(x)'' = 1

Agora veja: tg(x) é igual a "-1", em todo o círculo trigonométrico, nos arcos de  135º (equivalente a 3π/4 radianos) e de 315º (equivalente a 7π/4 radianos). E tg(x) é igual a "1", em todo o círculo trigonométrico, nos arcos de 45º (equivalente a π/4 radianos) e de 225º (equivalente 5π/4 radianos).

Assim, o arco "x" poderá ser,  em todo o círculo trigonométrico (colocando-se os arcos em ordem crescente):

x' = π/4; x'' = 3π/4; x''' = 5π/4); e x'''' = 7π/4  <---- Esta é a resposta. 

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma (considerando-se todo o círculo trigonométrico):

S = {π/4; 3π/4; 5π/4; 7π/4}.

Note que a resposta acima seria apenas para um círculo trigonométrico. Agora uma resposta geral, valendo para todo e qualquer arco côngruo, teríamos que o arco "x" seria:

x = kπ/2 + π/4 , com "k" inteiro.

Note, a propósito, que se você substituir o "k" por "0", por "1", por "2", por "3", por "4", por "5", etc, vai encontrar ou um dos arcos dentro de um círculo trigonométrico (que foi o que demos inicialmente) mais todos os côngruos maiores que 360º.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.