Question

Resolve a seguinte equação$log{x} (2x-1)=2$

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Xaninha, que a resolução é simples.
Tem-se a seguinte expressão logarítmica, que entendemos esteja escrita da seguinte forma:

logₓ (2x-1) = 2

Antes de mais nada vamos para as condições de existência da expressão logarítmica acima:

i) A base "x" deverá ser positiva (> 0) e, além disso, deverá também ser diferente de "1". Assim, deveremos impor que a base "x" deverá ser:

x > 0 e x ≠ 1.

ii) O logaritmando (2x-1) deverá ser, necessariamente, positivo (> 0). Assim, deveremos impor para o logaritmando (2x-1) o seguinte:

2x - 1 > 0
2x > 1
x > 1/2 .

iii) Assim, entre o "x" ser maior de que zero e maior do que "1/2", então deverá prevalecer esta última hipótese, ou seja:

x > 1/2 , pois sendo "x" > 1/2 já o será maior do que zero. Mas não deveremos descartar que, embora "x" tenha que ser maior do que "1/2" também deverá ser DIFERENTE de "1" (pois a base não poderá ser "1").

iv) Bem, como já temos as condições de existência, agora vamos resolver a expressão dada, que é esta:

logₓ (2x-1) = 2 ----- aplicando a definição de logaritmos, teremos isto:

x² = 2x - 1 ----- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
x² - 2x + 1 = 0 ------ se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

x' = x'' = 1 ---- Ou seja: a equação formada tem duas raízes reais e ambas iguais a "1".

Conclusão: como "x"  NÃO poderá ser igual a "1", então somos obrigados a afirmar que a expressão logarítmica NÃO existirá no campo dos números reais, pelo que o conjunto-solução poderá ser apresentado da seguinte forma:

S = ∅ , ou S = { }.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Aplique a definição:

$\fbox{ y=\ell og_a(b)~\Leftrightarrow~a^y=b }~~\mathsf{0<a\neq 1}$

$\begin{array}{l}\mathsf{\ell og_x(2x-1)=2}~\Leftrightarrow~\mathsf{x^2=2x-1}\\\\\mathsf{x^2-2x+1=0}\\\\\mathsf{(x-1)^2=0}\\\\\mathsf{\sqrt{(x-1)^2}=\sqrt{0}}\\\\\mathsf{|x-1|=0}\\\\\mathsf{x-1=\pm0}\\\\\mathsf{x_1=x_2=1}\\\\\\\textsf{Como a base n\~ao pode ser 1, o conjunto solu\c{c}\~ao \'e vazio (no conjunto dos reais).}\end{array}$