Question

Resolvas as equacoes:

A) e^ i.x= cos(pi*x)

B) sin Z= pi*i

C) sin h(i*z)= -i

Answer 1

O que essa questão tem de complicada ela tem de interessante. Fez com que eu revisasse umas coisas de variáveis complexas e me fez ver outras relacionadas a isso. Só tenho a agradecer :D

Antes de começar a resolver, vamos escrever algumas identidades que nos serão úteis

$1- \mathrm{sen}(z) = \dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\\ 2- \mathrm{senh}(z) =\dfrac{e^z-e^{-z}}{2}\\ 3- e^{iz} = \cos(z)+i\mathrm{sen}(z)$

Agora sim, vamos lá!

(a) $e^{ix} = \cos(x.\pi)\Rightarrow \cos(x)+i\mathrm{sen}(x) = \cos(x.\pi)\\ i\mathrm{sen}(x) = \cos(x.\pi)-\cos(x)$

De um lado temos um número imaginário puro e do outro temos um número real. Os dois serão iguais se, e só se, o número real e o número que acompanha o $i$ sejam 0, ou seja:

$\left\{ \begin{array}{l}\mathrm{sen}(x)=0\\ \cos{x.\pi}-\cos(x)=0 \end{array} \right.$

Nesse ponto, pode-se pensar que $x=2k.\pi, \ k\in\mathbb{Z}$, porém o único valor favorável é de $k=0$; se $k\neq0$ teríamos que calcular $\cos(2k.\pi^2)$, o que, convenhamos, não deve ser nada prático.

Portanto $\boxed{S=\{0\}}$

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(b) $\mathrm{sen}(z) = i\pi\Rightarrow \dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} = i\pi \ (\mathrm{Fazendo} \ x=e^{iz})\\ x-\dfrac1x = -2\pi\Rightarrow x^2+2\pi.x-1 = 0\\ \\ \\ \Delta= 4\pi^2+4=4(\pi^2+1)\\ x=\dfrac{-2\pi\pm2\sqrt{\pi^2+1}}{2}\Rightarrow x= -\pi\pm\sqrt{\pi^2+1}\\ \\ \\ e^{iz}=-\pi\pm\sqrt{\pi^2+1} \\ iz=\ln(-\pi\pm\sqrt{\pi^2+1})\\ \boxed{z=-i.\ln(-\pi\pm\sqrt{\pi^2+1})}$

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(c) $\mathrm{senh}(iz) = -i\Rightarrow \dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2} = -i\\ \dfrac{\cos(z)+i\mathrm{sen}(z)-(\cos(z)-i\mathrm{sen}(z))}{2}=-i\\ i\mathrm{sen}(z)=-i\Rightarrow \mathrm{sen}(z)=-1\\ \\ \boxed{z=\frac{3\pi}{2}+2k\pi}$