Question

Resolva:

x²- 2 [x] - 24 <0 

o símbolo [ ] foi empregado no sentido de 'módulo'

obrigada :)

Answer 1

Olá, Didi1996.

$x\²-2|x|-24<0$

Como $x\²=(|x|)\²,$ façamos a seguinte mudança de variável:

$y=|x|$

Substituindo na inequação original fica:

$y\²-2y-24<0$

As raízes da parábola $y\²-2y-24$ são $y=6$ e $y=-4.$

Como esta parábola possui concavidade voltada para cima, pois o coeficiente de $y\²$ é positivo (igual a 1), então, entre as raízes, a parábola assume valores negativos. Ou seja:

$y\²-2y-24<0\Leftrightarrow -4<y<6$

Voltando agora, à mudança de variável, temos:

$y=|x|\Rightarrow -4<|x|<6\Rightarrow |x|>4\text{ e }|x|<6$

$\text{(i) }|x|>4\Rightarrow\begin{cases}-x>4\,\,\times(-1)\Rightarrow x<-4\text{ ou }\\x>4\end{cases}\\\\\\\text{(ii) }|x|<6\Rightarrow\begin{cases}-x<6\,\,\times(-1)\Rightarrow x>-6\text{ e }\\x<6\end{cases}$

Juntando, portanto, todas as condições acima ficamos assim:

~~~~~~~~~~~~~~~~ -4 ______ 4 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (i)

______ -6 ~~~~~~~~ -4 ~~~~~~ 4 ~~~~~~~~ 6 __________ (ii)

______ -6 ~~~~~~~~ -4 _______ 4 ~~~~~~~~ 6 __________ (i) ∩ (ii)


Resposta: $S=\boxed{\{x\in\mathbb{R}\,|\,-6<x<-4\text{ ou }4<x<6\}}$ ou, na notação de

conjuntos, $\boxed{S=(-6;-4)\cup(4;6)}$