Question

Resolva:

- x + 2 / x - 1 ≥ 0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Brubs, que a resolução é simples.
Tem-se:

(-x+2) / (x-1) ≥ 0

Note que temos aqui uma inequação-quociente, cujo resultado deverá ser maior ou igual a zero, formado por duas equações do 1º grau, sendo: no numerador, temos f(x) = -x + 2; e no denominador, temos g(x) = x - 1.
Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais de cada uma delas, e, finalmente, veremos qual é o conjunto-solução da inequação originalmente dada [(-x+2)/(x-1) ≥ 0].
Vamos ver:

f(x) = - x + 2 ---> raízes: -x+2 = 0 ---> = x = - 2 ---> x = 2
g(x) = x - 1 ---> raízes: x-1 = 0 ---> x = 1.

Agora vamos à variação de sinais de cada uma delas em função de suas raízes. Assim:

a) f(x) = - x + 2 ... + + + + + + + + + + + + + + + + + + (2) - - - - - - - - - - - - - - - - -
b) g(x) = x - 1 .. - - - - - - - - - - - (1) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
c) a/b ...............- - - - - - - - - - - (1) + + + + + + + + + +(2) - - - - - - - - - - - - - - - -

Como queremos que a divisão de f(x) por g(x) seja MAIOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS ou é igual a zero, no item "c" acima, que nos fornece a divisão de f(x) por g(x).
Assim, o intervalo que dá o conjunto-solução da inequação original será este:

1 < x ≤ 2  ------- esta é a resposta.

Aí você poderá perguntar: e por que "x" poderá ser  " ≤ 2" e apenas maior do que "1"? Resposta: porque "1" é raiz da equação do denominador. E, como você já deverá saber disso, toda raiz zera a equação da qual ela é raiz. Se fôssemos admitir que "x" pudesse ser também igual a "1", então estaríamos admitindo uma divisão por zero e isto não existe. Portanto, "x" será apenas maior do que "1" e nunca maior ou igual, perfeito?

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | 1 < x ≤ 2}

Ou ainda, também se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = (1; 2]

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.