Question

Resolva: $\sqrt{x+2} - \sqrt{3x-5} =1$

Answer 1

$\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-5}=1$

$-\sqrt{3x-5}=1-\sqrt{x+2}$

$(-\sqrt{3x-5})^2=(1-\sqrt{x+2})^2$

$3x-5=1-2\sqrt{x+2}+x+2$

$3x-5-1-x-2=-2\sqrt{x+2}$

$2x-8=-2\sqrt{x+2}$

$x-4=-\sqrt{x+2}$

$(x-4)^2=(-\sqrt{x+2})^2$

$x^2-8x+16=x+2$

$x^2-8x+16-x-2=0$

$x^2-9x+14=0$

$\triangle=(-9)^2-4\cdot 1\cdot 14=81-56=25$

$x_1=\frac{9+\sqrt{25} }{2}=\frac{9+5}{2}=\frac{14}{2}=7$

$x_2=\frac{9-\sqrt{25} }{2}=\frac{9-5}{2}=\frac{4}{2}=2$

Agora verificamos as possíveis soluções encontradas:

$\sqrt{7+2}-\sqrt{3\cdot 7-5}=\sqrt{9}-\sqrt{21-5}=3-\sqrt{16}=3-4=-1$

$\sqrt{2+2}-\sqrt{3\cdot 2-5}=\sqrt{4}-\sqrt{6-5}=2-\sqrt{1}=2-1=1$

Somente para $x=2$ a equação é verdadeira.