Question

Resolva por completo as inequações a seguir:

a) (2x²-7x+6).(2x²-7x+5) ≤ 0

b) (x²-x+6).(-x²-2x-1) > 0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Cintitimat, que a resolução é simples.

Tem-se: "Resolva por completo as inequações a seguir:"

a) (2x²-7x+6).(2x²-7x+5) ≤ 0

Note que aqui no item "a" temos o produto entre duas equações do 2º grau, cujo resultado deverá ser MENOR OU IGUAL A ZERO.
Tem-se: f(x) = 2x²-7x+6 e tem-se g(x) = 2x²-7x+5.

Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações dadas e, em seguida, estudaremos a variação de sinais de cada uma delas e, finalmente, veremos qual é o domínio do resultado (que tem que ser menor ou igual a zero). Assim:

f(x) = 2x²-7x+6 ---> raízes: 2x²-7x+6 = 0 ---> x' = 3/2; x'' = 2
g(x) = 2x²-7x+5--> raízes: 2x²-7x+5 = 0 ---> x' = 1; x'' = 5/2

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações em função de suas raízes. E, no final, encontraremos o intervalo do domínio da inequação produto. Assim:

a) f(x) = 2x²-7x+6..+ + + + + + + + + +(3/2)- - - - --(2)+ + + + + + + + +...
b) g(x) = 2x²-7x+5..+ + + + + (1)- - - - - - - - - - - - - - - - - - (5/2)+ + + +...
c) a*b. . . . . . . . . . .+ + + + + (1)- - - - -(3/2)+ + + +(2)- - - -(5/2)+ + + +...

Como queremos que o resultado f(x)*g(x) seja menor ou igual a zero, então só nos interessa onde tiver sinal de MENOS no item "c" acima, que nos dá o resultado do produto de f(x) por g(x). Assim, os intervalos de domínio da inequação dada serão:

1 ≤ x ≤ 3/2; ou:  2 ≤ x ≤ 5/2

Se quiser, você também poderá apresentar o domínio (D) da inequação acima da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3/2; ou:  2 ≤ x ≤ 5/2}

Ou, ainda, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado do seguinte modo, o que significa o mesmo:

D = [1; 3/2] ∪ [2; 5/2]


b) (x²-x+6).(-x²-2x-1) > 0

Aqui no item "b" também temos o produto entre duas funções do 2º grau, cujo resultado terá que ser MAIOR DO QUE ZERO.
Temos f(x) = x²-x+6; e temos g(x) = - x²-2x-1.
Faremos a mesma coisa que fizemos na questão anterior: encontraremos as raízes de cada uma das funções. Assim:

f(x) = x²-x+6 ---> raízes x²-x+6 = 0 ---> Esta função não tem raízes reais, mas só raízes complexas. Nesse caso, como o seu termo "a" é positivo (o termo "a" é o coeficiente de x²), então esta função será sempre POSITIVA para qualquer que seja o valor real que "x" venha a assumir (nota: se o termo "a" fosse negativo, a função seria sempre negativa. Mas, como o termo "a" é positivo, então ela será sempre POSITIVA).

g(x) = -x²-2x-1 ---> raízes: -x²-2x-1 = 0 ---> x' = x'' = - 1

Agora vamos encontrar a variação de sinais das duas funções e proceder da mesma forma que fizemos na primeira questão. Assim:

a) f(x) = x²-x+6 ... + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = -x²-2x-1.. - - - - - - - - - - - (-1)- - - - - - - - - - - - - - - - - -
c) a*b . . . . . . . . . .- - - - - - - - - - - (-1)- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Assim, como queremos que o produto f(x)*g(x) seja MAIOR DO QUE ZERO, então, como você está vendo no item "c" aí em cima, isto NUNCA ocorrerá. No máximo  o produto das duas funções poderia ser igual a zero, que seria quando o "x" de g(x) assumisse o valor "-1" (que é a raiz de g(x) ), mas JAMAIS o produto entre as duas funções seria maior do que zero.
Assim, como está proposto que o produto seja maior do que zero, não existe domínio pra isso, em razão do que a resposta será o conjunto vazio, que poderá ser representado assim:

D = { }
ou , se quiser:
D = ∅ .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.