Question

Resolva os sistemas pela regra de cramer:
a) x-y+z=-2
x-2y-2z=-1
2x+y+3z=1

b) 2x-y+z=3
x-2y-z=0
3x-y+2z=1

Answer 1

Olá ! 

Essa regra se baseia no conceito de determinantes ... 

(como é uma questão um pouco demorada vou resolver apenas a letra a) 

Temos: 

{x - y + z = - 2
{x-2y -2z = - 1
{2x +y+3z = 1     

Para essa regra temos que o valor de:

x = Dx/D  
y = Dy/D
z = Dz/D 

Primeiro calculamos o nosso D (determinante da equação) 

| 1  -1  1 | 1  -1
| 1  -2 -2 | 1  -2 
| 2   1   3 | 2  1 

D = [(1.-2.3) + (-1.-2.2) + (1.1.1)] - [(1.-2.2) + (1.-2.1) + (-1.1.3)] 

D = [ -6 + 4 + 1 ] - [ -4 - 2 - 3 ] 

D = -1 - [ - 9 ] 

D = 8   

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Agora caculamos Dx, Dy e Dz ... 

Dx ... (como x é o primeiro, coloco todos da igualdade na primeira coluna) 

| -2 -1  1| -2 -1 
| -1 -2 -2| -1 -2
|  1  1  3 | 1   1  

Dx = [(-2.-2.3) + (-1.-2.1) + (1.-1.1)] - [(1.-2.1) + (-2.-2.1) + (-1.-1.3)] 

Dx = [ - 12 + 2 - 1 ] - [ -2 + 4 + 3 ] 

Dx = -11 - 5 

Dx = - 16  

=========================================================

Dy ... (como y é o segundo, coloco todos da igualdade na segunda coluna) 

| 1 -2  1 | 1 -2
| 1 -1 -2 | 1 -1
| 2  1  3 | 2  1 

Dy = [(1.-1.3) + (-2.-2.2) + (1.1.1)] - [(1.-1.2) + (1.-2.1) + (-2.1.3)] 

Dy = [ -3 + 8 + 1 ] - [ -2 - 2 - 6 ] 

Dy = 6 - [ - 10 ] 

Dy = 16 

=========================================================

Dz ... (como z é o terceiro coloco todos da igualdade na terceira coluna)  

| 1 -1 -2 | 1 -1
| 1 -2 -1 | 1 -2
| 2  1  1  | 2  1

Dz = [(1.-2.1) + (-1.-1.2) + (-2.1.1)] - [(-2.-2.2) + (1.-1.1) + (-1.1.1)] 

Dz = [ -2 + 2 - 2 ] - [ 8 - 1 - 1 ] 

Dz = -2 - 6 

Dz = - 8 

=========================================================

Encontrando a solução ... 

x = Dx/D 

x = -16/8 

x = - 2  

-----------------------

y = Dy/D 

y = 16/8 

y = 2 

-------------------------

z = Dz/D

z = -8/8 

z = -1          

Assim encontramos a nossa resposta! 

R :  x = -2 , y = 2 , z = -1                                                                 ok