Question

Resolva os sistemas de equações.
1/x - 1/y = 1/6 e
x+y = 5

Answer 1

Resposta:

Resolver, em $\mathbb{R}^2$, o sistema de equações abaixo:

$\left\{^{^{\big {\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)}}}_{_{_{\big{x + y = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(II)}}}}$

Perceba que $x \neq 0$ e $y \neq 0.$

De $(II)$, temos:

$x + y = 5\\\\\Longleftrightarrow y = 5 - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(III)$

Substituindo $(III)$ em $(I)$, temos:

$\big{\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6} }\\\\\Longleftrightarrow \big {\frac{1}{x} - \frac{1}{\left(5 - x \right)} = \frac{1}{6} }$

Perceba que $x \neq 5.$ Continuando:

$\Longleftrightarrow \big{\frac{\left( 5-x \right) -x}{x \cdot \left( 5-x \right)} = \frac{1}{6} }\\\\\Longleftrightarrow \big{\frac{5-2x}{5x - x^2} = \frac{1}{6} }\\\\\Longleftrightarrow 5x - x^2 = 30 - 12x\\\\\Longleftrightarrow -x^2 + 17x - 30 = 0\\\\\Longleftrightarrow -\left( x-2 \right) \left(x-15 \right) = 0\\\\\Longleftrightarrow x = 2\,\,\,ou\,\,\,x = 15.$

Substituindo $x = 2$ em $(III)$, temos:

$y = 5 - x\\\\\Longleftrightarrow y = 5 - 2\\\\\Longleftrightarrow y = 3.$

Logo, o par ordenado $(2, 3)$ é solução do sistema.

Substituindo $x = 15$ em $(III)$, temos:

$y = 5 - x\\\\\Longleftrightarrow y = 5 - 15\\\\\Longleftrightarrow y = -10.$

Assim, o par ordenado $(15, -10)$ também é solução do sistema.

Portanto, a solução do sistema é esta:

$\boxed{S = \left\{ \left( 2, 3 \right), \left( 15, -10 \right) \right\}}$