Question

RESOLVA OS SEGUINTES LIMITES

Answer 1

n)

$faça \: z = \sqrt[3]{h + 1} \\ h + 1 = {z}^{3} \\ h = {z}^{3} - 1 \\h →0 \: se \: z→1$

$Lim \: \frac{ \sqrt[3]{h + 1} - 1 }{h} \\ </p><p>h→0$

$= Lim \: \frac{z - 1}{ {z}^{3} - 1} \\ </p><p>z→1$

Note que no denominador temos um cubo da diferença. Lembre que

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

Daí

$= Lim \: \frac{z - 1}{(z - 1)( {z}^{2} + z + 1)} \\ </p><p>z→1$

Simplificando z-1 no numerador e no denominador temos

$= Lim \: \frac{1}{ {z}^{2} + z + 1 } = \frac{1}{ {1}^{2} + 1 + 1 } \\ </p><p>z→1$

$= \frac{1}{1 + 1 + 1} = \frac{1}{3}$

Espero ter ajudado bons estudos :)

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Cálculo dos Limites:

A)

$\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{h+1}-1 }{h} = \Big|\Big|\frac{0}{0}\Big|\Big| \]$

• Para escapar das indeteterminações vamos ,tentar manipular a fracção de tal maneira a ter uma Expressão mais simplificada.

• Obs: Identidades de Worryn:
• (a—b)(a²+ab+b²)=a³—b³
• (a+b)(a²-ab+b²)= a³+b³
• (a—b)(a+b)=a²—b²

• Com estas identidades ,podemos achar o nosso factor racionalizante:

$\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{h+1} - 1}{h}.\frac{(\sqrt[3]{h+1})^2+\sqrt[3]{h+1}+1 }{(\sqrt[3]{h+1})^2+\sqrt[3]{h+1}+1} \]$

$\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(\sqrt[3]{h+1})^3-1^3}{h[(\sqrt[3]{h+1})^2+\sqrt[3]{h+1}+1}] \]$

$\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h+1-1}{h[(\sqrt[3]{h+1})^2+\sqrt[3]{h+1}+1] } \]$

$\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cancel{h}}{\cancel{h}[(\sqrt[3]{h+1})^2+\sqrt[3]{h+1}+1] \]}$

$\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{(\sqrt[3]{h+1})^2+\sqrt[3]{h+1}+1} \] }$

$\mathsf{=\frac{1}{(\sqrt[3]{0+1})^2+\sqrt[3]{0+1}+1} =\frac{1}{1+1+1}=\frac{1}{3} }$

$\boxed{\mathsf{\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{h+1}-1}{h}=\frac{1}{3} }}}}$

B)

$\[\lim_{x \rightarrow -2} \frac{\mathsf{x^3-x^2-x+10}}{\mathsf{x^2+3x+2}} = \Big|\Big|\frac{0}{0}\Big|\Big| \]$

--

Aplicando a derivada ter-se-á :

$\[\lim_{x \rightarrow -2} \frac{\mathsf{3x^2-2x-1}}{\mathsf{2x+3}} \]$

$\mathsf{=\frac{3.(-2)^2-2.(-2)-1}{2.(-2)+3} = \frac{3.4+4-1}{-4+3} }$

$\mathsf{=frac{12+3}{-1}=-15 }$

$\boxed{\mathsf{\[\lim_{x \rightarrow -2} \frac{x^3-x^2-x+1}{x^2+3x+2} = -15}}}}$

C)

$\[\lim_{x \rightarrow 3} \frac{2x^3-5x^2-2x-3}{4x^3-13x^2+4x-3} =\Big||\frac{0}{0}|\Big| \]$

Derivando o numerador e o denominador da fracção ter-se-á:

$\[\lim_{x \rightarrow 3} \frac{6x^2-10x-2}{12x^2-26x+4} \]$

$\mathsf{=\frac{6.(3)^2-10.3-2}{12.3^2-26.3+4}=\frac{6.9-30-2}{12.9-78+4} }$

$\mathsf{=\frac{54-32}{108-74}=\frac{22}{34}=\frac{11}{17} }$

$\boxed{\mathsf{\[\lim_{x \rightarrow 3}\frac{2x^3-5x^2-2x-3}{4x^3-13x^2+4x-3} =\frac{11}{17} }}}}$

Espero ter ajudado bastante!)