Question

Resolva o SL a seguir
a) Pela regra de Cramer .

b) Por eliminação de Gauss -Jordan

$\left \{ {{4x \ + \ y \ + \ z \ + \ w \ = \ 6 } \atop {3x \ + \ 7y \ - \ z \ + \ w \ = \ 1}} \atop {{7x \ + \ 3y \ - \ 5z \ + \ 8w \ = \ -3} \atop {x \ + \ y \ + \ z \ + \ 2w \ = 3}}\right.$

Sistema no anexo 1 também

Answer 1

Os valores dos coeficientes são:

A resolução do sistema linear por meio da regra de Cramer necessita da notação matricial do sistema, façamos então, sendo o sistema o produto matricial AX = B:

$\large\begin{cases}\tt 4x+2y+z+w=6\\\tt 3x+7y-z+w=1\\\tt 7x+3y-5z+8w=-3\\\tt x+y+z+2w=3\end{cases} \sim \;\begin{bmatrix}\tt 4&\tt1&\tt1&\tt1 \\\tt 3&\tt7&\tt-1&\tt1\\ \tt 7&\tt3&\tt-5&\tt8 \\\tt3&\tt1&\tt1&\tt2\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}\tt x \\\tt y\\ \tt z\\\tt w\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\tt 6 \\\tt 1\\ \tt -3\\\tt 3\end{bmatrix}$

A regra de Cramer diz que:

$\large\begin{array}{lr}\tt x_1 = \dfrac{\det(A_1)}{\det(A)}; \:x_2 = \dfrac{\det(A_2)}{\det(A)};\ldots \:;\: x_n = \dfrac{\det(A_n)}{\det(A)} \end{array}$

Sendo $\tt x_k$ a variável e $\tt \det(A_k)$ o determinante da matriz que resulta da substituição da matriz de resultados (B) na matriz A.

❏ Vamos utilizar o desenvolvimento de Laplace para calcular o determinante da matriz A.

$\large\begin{bmatrix}\tt 4&\tt1&\tt1&\tt1 \\\tt 3&\tt7&\tt-1&\tt1\\ \tt 7&\tt3&\tt-5&\tt8 \\\tt3&\tt1&\tt1&\tt2\end{bmatrix} \;\; \tt \det(A) = \sum\limits_{k=1}^{n} a_{ij} \cdot \underbrace{\tt(-1)^{i+j} \cdot \det{(\tilde{A}_{ij})}}_{cofator\,de\, a_{ij}}$