Question

Resolva o sistema de três equações aplicando a regra de Cramer

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Temos os seguintes dados:

$\begin{cases} - 2x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \\ 3x - 2y + 3z = 4\end{cases}$

Vamos reescrever esse sistema da seguinte forma:

$\begin{pmatrix} - 2& - 1&1 \\ 1&1& - 1 \\ 3& - 2&3\end{pmatrix}.\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ 4\end{pmatrix}$

A primeira coisa que devemos fazer é descobrir qual é esse tipo de sistema, para isso vamos calcular o determinante com os coeficientes dos números que possuem letras:

I) Análise do sistema:

Para calcular o determinante vamos usar o método de Sarrus:

$\begin{pmatrix} - 2& - 1&1 \\ 1&1& - 1 \\ 3& - 2&3\end{pmatrix} . \begin{pmatrix} - 2& - 1\\ 1&1 \\ 3& - 2\end{pmatrix} \\ \\ D = ( - 2).1.3 + ( - 1).( - 1).3 + 1.1.( - 2) - (3.1.1 + ( - 2).( - 1).( - 2) + 3.1.( - 1) \\ D = - 6 + 3 - 2 - (3 - 4 - 3) \\ D = - 8 + 3 - ( - 4) \\ D = - 5 + 4 \\ \boxed{D = - 1}$

Como o resultado foi diferente de "0" temos um Sistema Possível e Determinado. Com isso em mente podemos prosseguir os cálculos de X, Y e Z.

I) Determinante para "x":

Para calcular o determinante de "x" vamos substituir os elementos que se encontram depois da igualdade no local da coluna "x":

$\begin{pmatrix} 2& - 1&1 \\ 0&1& - 1 \\ 4& - 2&3\end{pmatrix} . \begin{pmatrix} 2& - 1\\ 0&1\\ 4& - 2\end{pmatrix} \\ \\ D_x= 2.1.3 + ( - 1).( - 1).4 + 1.0.( - 2) - (4.1.1 + ( - 2).( - 1).2 + 3.0.( - 1) \\ D_x = 6 + 4 + 0 - (4 + 4 + 0) \\ D_x = 10 - 8 \\ \boxed {D_x= 2}$

II) Determinante para "y":

Do mesmo jeito que fizemos anteriormente, teremos que substituir os números depois da igualdade na coluna "y":

$\begin{pmatrix} - 2& 2&1 \\ 1&0& - 1 \\ 3& 4&3\end{pmatrix} . \begin{pmatrix} - 2& 2\\ 1&0\\ 3& 4\end{pmatrix} \\ \\ D_y= ( -2).0.3 + 2.( - 1).3 + 1.1.4 - (3.0.1 + 4.( - 1).( - 2) + 3.1.2) \\ D_y = 0 - 6 + 4 - (0 + 8 + 6) \\ D = - 2 - (14) \\ \boxed{D_y= - 16}$

Pronto. Tendo calculado o DETERMINANTE de "x" e "y" vamos substituir na fórmula do próprio método e encontrar "x" e "y" de fato.

$\begin{cases}x = \frac{D_x}{D} \\ \\ x = \frac{2}{ - 1} \\ \\ \boxed{x = - 2} \\ \\ y = \frac{D_y}{D} \\ \\ y = \frac{ - 16}{ - 1} \\ \\ \boxed{ y = 16} \end{cases}$

Não será necessário calcular o DETERMINANTE de "z", pois basta substituir o valor de "x" e "y" em uma das 3 equações.

$x + y - z = 0 \\ - 2 + 16 - z = 0 \\ 14 - z = 0 \\ - z = - 14.( - 1) \\ \boxed{z = 14}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️