Question

Resolva o sistema de equações a seguir, em que z e w são complexos: (z* e w* => conjugados)
iz + (1 + i)w = 1
(1 + i)z* - (6 + i)w* = -4 - 8i

Answer 1

iz + (1+i)w = 1

i.(a+bi) + (1+i).(c+di) = 1

ai + bi ² + (c + di + ci + di ²) = 1

ai - b + c + di + ci - d = 1

( c - d - b) + i. ( a + c + d) = 1

∴

c - d - b = 1

⇒ b = c - d -1

a + c + d = 0

⇒ a = - c - d

...

(1+i) z* - (6+i) w* = -4 -8i

(1+i).(a-bi) - [ (6+i).(c-di) ] = -4 -8i

a - bi +ai -bi ² - ( 6c -6di + ci - di ² ) = -4 -8i

a - bi + ai + b - ( 6c - 6di + ci + d) = -4 -8i

a - bi + ai + b - 6c + 6di - ci - d = -4 -8i

a + b -d -6c + i. ( a - b - c + 6d) = -4 -8i

∴

a + b -d -6c = -4

a -b -c +6d = -8

...

Substituição I:

-c -d +b -d -6c = -4

⇒ b -2d -7c = -4

-c -d -b -c +6d = -8

⇒ 5d -2c - b = -8

Substituição II:

c -d -1 -2d -7c = -4

⇒ -6c -3d = -3

⇒ -3.(2c +d) = -3

⇒ 2c +d = 1

5d -2c - (c -d -1) = -8

⇒ 5d -2c -c +d +1 = -8

⇒ 6d -3c = -9

⇒ 3.( 2d -c) = -9

⇒ 2d -c = -3

The Ultimate:

2c +d = 1

2d -c = -3

⇒ c = 2d +3

2.(2d +3) +d = 1

4d +6 +d = 1

5d = -5

d = -1

∴

c = 2.-1 + 3

c = 1

...

w = 1 - i logo, w* = 1 + i

Inception:

iz + (1+i).(1-i) = 1

iz + 1 - i ² = 1

iz + 1 +1 = 1

iz = -1

i ² z = -i

z = -i / -1

z = i logo, z* = -i

Keys:

z = i

z* = - i

w = 1 - i

w* = 1 + i

flawless victory.