Resolva o sistema de equações a seguir, em que z e w são complexos: (z* e w* => conjugados)
iz + (1 + i)w = 1
(1 + i)z* - (6 + i)w* = -4 - 8i
Soluções para a tarefa
iz + (1+i)w = 1
i.(a+bi) + (1+i).(c+di) = 1
ai + bi ² + (c + di + ci + di ²) = 1
ai - b + c + di + ci - d = 1
( c - d - b) + i. ( a + c + d) = 1
∴
c - d - b = 1
⇒ b = c - d -1
a + c + d = 0
⇒ a = - c - d
...
(1+i) z* - (6+i) w* = -4 -8i
(1+i).(a-bi) - [ (6+i).(c-di) ] = -4 -8i
a - bi +ai -bi ² - ( 6c -6di + ci - di ² ) = -4 -8i
a - bi + ai + b - ( 6c - 6di + ci + d) = -4 -8i
a - bi + ai + b - 6c + 6di - ci - d = -4 -8i
a + b -d -6c + i. ( a - b - c + 6d) = -4 -8i
∴
a + b -d -6c = -4
a -b -c +6d = -8
...
Substituição I:
-c -d +b -d -6c = -4
⇒ b -2d -7c = -4
-c -d -b -c +6d = -8
⇒ 5d -2c - b = -8
Substituição II:
c -d -1 -2d -7c = -4
⇒ -6c -3d = -3
⇒ -3.(2c +d) = -3
⇒ 2c +d = 1
5d -2c - (c -d -1) = -8
⇒ 5d -2c -c +d +1 = -8
⇒ 6d -3c = -9
⇒ 3.( 2d -c) = -9
⇒ 2d -c = -3
The Ultimate:
2c +d = 1
2d -c = -3
⇒ c = 2d +3
2.(2d +3) +d = 1
4d +6 +d = 1
5d = -5
d = -1
∴
c = 2.-1 + 3
c = 1
...
w = 1 - i logo, w* = 1 + i
Inception:
iz + (1+i).(1-i) = 1
iz + 1 - i ² = 1
iz + 1 +1 = 1
iz = -1
i ² z = -i
z = -i / -1
z = i logo, z* = -i
Keys:
z = i
z* = - i
w = 1 - i
w* = 1 + i
flawless victory.