Question

Resolva o sistema :
a) {log2y x=1
{3^ x+y=27

b) {x. y=10^5/6
{logx - logy = 1/6

Answer 1

a) Acredito que seu sistema seja:

$\left \{ {{log_{2y}x=1} \atop {3^{x+y}=27}} \right.$

Pela definição de logaritmo:

 $log_{2y}x=1$ é equivalente a $(2y)^1=x$

Assim, chegamos a conclusão que 2y=x, vamos substituir esse valor na segunda sentença:

$3^{2y+y}=27$
$3^{3y}=3^3$

Para a afirmação ser válida, temos que 3y=3. Para tanto, y=1.

Subtituindo o valor de y em 2y=x, temos x=2. Então:

x =2, y = 1.

b) Seu sistema deve ser:

$\left \{ {{xy=10^{ \frac{5}{6} }} \atop {logx-logy= \frac{1}{6} }} \right.$


Pela definição de logaritmo, a segunda sentença pode ser transformada em:

 $log( \frac{x}{y} )= \frac{1}{6}$ e pela mesma definição usada na letra a, podemos transformar essa sentença em:  $\frac{x}{y} =10^{ \frac{1}{6} }$ então:

$x=10^{ \frac{1}{6} }y$

Vamos substituir isso na primeira sentença.

$(10^{ \frac{1}{6} }y)*y=10^{ \frac{5}{6} }$
$10^{ \frac{1}{6} }*y^2=10^{ \frac{5}{6} }$

Elevando os dois lados a sexta potência, ficamos com:

$10*y^{12}=10^5$

$y^{12}=10^4$

Elevando ambos os lados a 1/12, temos:

$y=10^{ \frac{4}{12} }=10^{ \frac{1}{3} }= \sqrt[3]{10}$

Vamos substituir esse valor na primeira sentença

$x*10^{ \frac{1}{3} }=10^{ \frac{5}{6} }$

Elevando ambos os lados a 6:

$x^6*10^2=10^5$
$x^6=10^3$
$x=10^{ \frac{^3}{6} }=10^{ \frac{1}{2} }= \sqrt{10}$

Desta forma: x=$\sqrt{10}$ e y=$\sqrt[3]{10}$