Question

Resolva o seguinte sistema linear pelo Método de Eliminação de Gauss e indique o valor da solução.

x + 2y + 4z = 16
2x + z = 8
4x + 2y + z = 19


a. x =3, y = 0, z = 1

b. x = 3, y = 2,5 z = 2

c. x = -1, y = 2,5, z = 3

d. x =2, y = 0, z = 4

e. x = -1, y = 0,5 , z = 4

Answer 1

Para aplicar o método de eliminação de Gauss, devemos colocar os coeficientes em uma matriz retangular e então eliminar alguns termos. Neste caso, temos a matriz:

$\left[\begin{array}{cccc}1&2&4&16\\2&0&1&8\\4&2&1&19\end{array}\right]$

O método de Gauss diz que deve-se ter um pivô em cada coluna, mas cada pivô deve estar sempre a direita do pivô anterior. Na matriz anterior, temos um pivô na primeira linha, então devemos trabalhar na segunda linha. Podemos subtrair 2 vezes a linha 1 da linha 2, e teremos a nova linha 2:

a21 = 2 - 2*1 = 0

a22 = 0 - 2*2 = -4

a23 = 1 - 2*4 = -7

a24 = 8 - 2*16 = -24

$\left[\begin{array}{cccc}1&2&4&16\\0&-4&-7&-24\\4&2&1&19\end{array}\right]$

Na linha 3, podemos fazer o mesmo, mas subtraindo por 4 vezes a linha 1:

a21 = 4 - 4*1 = 0

a22 = 2 - 4*2 = -6

a23 = 1 - 4*4 = -15

a24 = 19 - 4*16 = -45

Agora, podemos subtrair a linha 3 por 3/2 da linha 2:

a31 = 0 - 3/2*0 = 0

a32 = -6 - 3/2*-4 = 0

a33 = -15 - 3/2*-7 = -9/2

a34 = -45 - 3/2*-24 = -9

Temos então:

$\left[\begin{array}{cccc}1&2&4&16\\0&-4&-7&-24\\0&0&-9/2&-9\end{array}\right]$

As equações são:

-9z/2 = -9

-4y - 7z = -24

x + 2y + 4z = 16

Temos que z = 2, substituindo na segunda equação, encontramos y = 5/2 e substituindo ambos na terceira equação, temos que x = 3.

Resposta: B