Question

Resolva o seguinte sistema de equações , sabendo que x > 0 e y > 0 ...


$\begin{cases} \mathsf{ x^{x+y}~=~y^{12} } \\ \\ \mathsf{ y^{x + y}~=~x^3 } \end{cases}$

responda detalhamente...​

Answer 1

Olá Marcelo!

Resposta:

$\displaystyle \boxed{\mathtt{x = 4}}$ e $\displaystyle \boxed{\mathtt{y = 2}}$

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, suponha que $\displaystyle \mathtt{x = y}$. Então, teremos:

$\\ \displaystyle \begin{cases} \mathsf{x^{x + y} = y^{12}} \\ \mathsf{y^{x + y} = x^3} \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} \mathsf{x^{x + x} = x^{12}} \\ \mathsf{x^{x + x} = x^3} \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} \mathsf{x^{2x} = x^{12} \Rightarrow \boxed{\mathsf{x = y = 6}}} \\ \mathsf{x^{2x} = x^3 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x = y = \frac{3}{2}}}} \end{cases}$

Todavia, isto não faz sentido! Afinal, estamos diante de um sistema de equações... Inclusive, podes verificar que os valores encontrados não satisfazem as equações, simultaneamente, substituindo-os (valores encontrados) em cada uma delas (equações).

Isto posto, agora consideramos o caso $\displaystyle \mathtt{x \neq y}$. Segue,

EQUAÇÃO I:

$\\ \displaystyle \mathsf{x^{x + y} = y^{12}} \\\\ \mathsf{\log_x y^{12} = x + y} \\\\ \mathsf{12 \cdot \log_x y = x + y \qquad \qquad (i)}$

EQUAÇÃO II:

$\\ \displaystyle \mathsf{y^{x + y} = x^3} \\\\ \mathsf{\log_y x^3 = x + y} \\\\ \mathsf{3 \cdot \log_y x = x + y \qquad \qquad (ii)}$

Igualando as equações $\displaystyle \mathtt{(i)}$ e $\displaystyle \mathtt{(ii)}$, tiramos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{x + y = x + y} \\\\ \mathsf{12 \cdot \log_x y = 3 \cdot \log_y x \qquad \qquad \div(3} \\\\ \mathsf{4 \cdot \log_x y = \log_y x} \\\\ \mathsf{4 \cdot \frac{\log y}{\log x} = \frac{\log x}{\log y}} \\\\ \mathsf{\log^2 x = 4 \cdot \log^2 y} \\\\ \mathsf{\frac{\log^2 x}{\log^2 y} = 4} \\\\ \mathsf{\left ( \frac{\log x}{\log y} \right )^2 = 4} \\\\ \mathsf{\left ( \frac{\log x}{\log y} \right )^2 = 4} \\\\ \mathsf{\left | \frac{\log x}{\log y} \right | = 2} \\\\ \mathsf{\log_y x = \pm 2}$

POSSIBILIDADE I: $\displaystyle \mathtt{\log_y x = + 2}$

Da definição de Logaritmos,

$\\ \displaystyle \Rightarrow \boxed{\mathtt{x = y^2}}$

Substituindo no sistema (inicial),

$\\ \displaystyle \mathsf{y^{x + y} = x^3} \\\\ \mathsf{y^{y^2 + y} = \left ( y^2 \right )^3} \\\\ \mathsf{y^{y^2 + y} = y^6} \\\\ \mathsf{y^2 + y - 6 = 0} \\\\ \mathsf{(y + 3)(y - 2) = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{S_y = \left \{ - 3, 2 \right \}}}$

No entanto, $\displaystyle \mathtt{y > 0}$. Portanto, $\displaystyle \boxed{\boxed{\mathtt{y = 2}}}$!!

Por conseguinte,

$\\ \displaystyle \mathsf{x = y^2} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{x = 4}}}$

POSSIBILIDADE II: $\displaystyle \mathtt{\log_y x = - 2}$

Da definição de Logaritmos,

$\\ \displaystyle \Rightarrow \boxed{\mathtt{x = \frac{1}{y^2}}}$

Substituindo no sistema (inicial),

$\\ \displaystyle \mathsf{y^{x + y} = x^3} \\\\ \mathsf{y^{\frac{1}{y^2} + y} = \left ( \frac{1}{y^2} \right )^3} \\\\ \mathsf{\frac{1}{y^2} + y = - 6} \\\\ \mathsf{y^3 + 6y^2 + 1 = 0} \\\\ \mathsf{y^3 + 6y^2 = - 1} \\\\ \mathsf{y^2 \cdot (y + 6) = - 1}$

Uma vez que $\displaystyle \mathtt{y > 0}$, temos que não existe $\displaystyle \mathtt{y}$ real que satisfaz a equação. Pois ambos os fatores são maiores que zero e, portanto, seu produto também será!

Além da definição de Logaritmos, fiz uso das seguintes propriedades:

$\\ \displaystyle \mathtt{\bullet \qquad \log_a b^c = c \cdot \log_a b} \\\\ \mathtt{\bullet \qquad \log_a b = \frac{\log b}{\log a}}$

$\displaystyle \mathtt{\forall \, 1 \neq a, b > 0}$

Answer 2

$\begin{cases} \mathsf{ x^{x+y}~=~y^{12} } \\ \\ \mathsf{ y^{x + y}~=~x^3 } \end{cases}$$\mathsf{x + y = log_{x}( {y})^{12}} \\ \mathsf{x + y = 12log_{x}y}$

$\mathsf{ {y}^{x + y} = {x}^{3}} \\\mathsf{ x + y= log_{y}( {x})^{3} } \\\mathsf{ x + y =3 log_{y}(x) }$

$\mathsf{12 log_{x}(y) = 3 log_{y}(x) } \\ \mathsf{ \dfrac{12}{ log_{y}(x) } = 3 log_{y}(x) }\\\mathsf{ { log}^{2}_{y}(x) = 4 } \\ \mathsf{ \sqrt{ { log}^{2}_{y}(x) } = \pm\sqrt{4} }$

$\mathsf{|log_{y}x|=\pm2}$

Vamos dividir em casos

$\mathsf{ log_{y}(x) = 2 } \\\mathsf{x = {y}^{2} }$

$\mathsf{ {y}^{x + y} = {x}^{3}} \\ \mathsf{{y}^{ {y}^{2} + y} = {y}^{6}}\\\mathsf{{y}^{2} + y - 6 = 0 }$

$\mathsf{\Delta=25}\\\mathsf{y=\dfrac{-1\pm5}{2}} \\\mathsf{y_{1}=2~~y_{2}=-3}.$

$\mathsf{log_{y}x=2}\\\mathsf{log_{2}x=2}\\\mathsf{x={2}^{2}=4}$

$\mathsf{ log_{y}(x) = - 2 } \\\mathsf{x = \dfrac{1}{ {y}^{2} } }$

$\mathsf{ {y}^{x + y} = {x}^{3} } \\ \mathsf{{y}^{ \frac{1}{ {y}^{2} } + y} = { ({y}^{ - 2}) }^{3} } \\ \mathsf{{y}^{ \frac{1}{ {y}^{2} } + y} = { y}^{ - 6} }$

$\mathsf{ \frac{1}{ {y}^{2}} + y = - 6 \times ( {y}^{2} ) } \\\mathsf{ {y}^{3}+6 {y}^{2} =-1} \\ \mathsf{ {y}^{2}(y + 6)= - 1 }$

a expressão só tem sentido se y>0 pois assim está definido no exercício.

$\boxed{\boxed{\mathsf{s=\{4,2\}}}}$