Question

Resolva o seguinte problema: Determinar um número de 3 algarismos compreendido entre 400 e 500, sabendo que a soma dos seus algarismos é 9 e que o número invertido é igual a 36/47 do número primitivo.

Answer 1

Seja  n  o número natural procurado,  onde  a, b, c  são os algarismos das unidades, dezenas e centenas de  n  respectivamente.

Como o nosso sistema de numeração é decimal  (base 10),  podemos escrever que

     $\mathsf{n=100c+10b+a\qquad(i)}$


Como  400 < n < 500,  o algarismo das centenas só pode ser  4:

     $\mathsf{c=4}$        ✔


Portanto, temos que

     $\mathsf{n=100\cdot 4+10b+c}\\\\ \mathsf{n=400+10b+c\qquad(ii)}$


A soma dos algarismos de  n  é  9:

     $\mathsf{a+b+c=9}\\\\ \mathsf{a+b+4=9}\\\\ \mathsf{a+b=9-4}\\\\ \mathsf{a+b=5}\\\\ \mathsf{b=5-a\qquad(iii)}$


O número reescrito com os algarismos na ordem reversa é igual a  36/47  do número  n  original.

Para inverter a ordem dos algarismos, consideramos o algarismo das unidades como o algarismo das centenas, e o algarismo das centenas como o algarismo das unidades:

     $\mathsf{100a+10b+c=\dfrac{36}{47}\cdot n}\\\\\\ \mathsf{100a+10b+4=\dfrac{36}{47}\cdot (400+10b+a)}\\\\\\ \mathsf{47\cdot (100a+10b+4)=36\cdot (400+10b+a)}\\\\ \mathsf{4700a+470b+188=14400+360b+36a}$


Na última igualdade acima, substitua  b = 5 − a,  e resolva a equação para a variável  a:

     $\mathsf{4700a+470\cdot (5-a)+188=14400+360\cdot (5-a)+36a}\\\\ \mathsf{4700a+2350-470a+188=14400+1800-360a+36a}\\\\ \mathsf{4700a-470a+360a-36a=14400+1800-2350-188}\\\\ \mathsf{4554a=13662}\\\\ \mathsf{a=\dfrac{13662}{4554}}$

     $\mathsf{a=3}$        ✔


O algarismo das dezenas é

     $\mathsf{b=5-a}\\\\ \mathsf{b=5-3}$

     $\mathsf{b=2}$        ✔


Portanto, o número procurado é

     $\mathsf{n=100c+10b+a}\\\\ \mathsf{n=100\cdot 4+10\cdot 2+3}\\\\ \mathsf{n=400+20+3}$

     $\mathsf{n=423\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$


Bons estudos! :-)