Question

Resolva o seguinte limite. Limite de (x³ + 8)/(x+2) quando x tende a "-2".

Answer 1

Resposta:

lim ( x³+8)/x+2 = 12

x-> -2

Explicação passo-a-passo:

veja na foto.

Answer 2

• Resolvendo o limite dado pela fatoração e pela Regra de l'Hôpital, temos que:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \lim_{x \to -2} \frac{(x^3+8)}{(x+2)}= 12\end{gathered}$

De praxe devemos substituir o valor no qual x tende, caso der uma indeterminação matemática, devemos manipular a função de modo que conseguimos substituir o x tende sem dar um valor indeterminado.

No caso da sua questão, temos que após substituirmos o valor no qual x tende naquela função, obtivemos uma indeterminação do tipo 0/0. Vamos então manipular aquela função, e para isso temos alguns métodos, tais como o da fatoração e o da Regra de l'Hôpital. Irei fazer das duas maneiras, pela fatoração, vale ressaltar a seguinte fórmula:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2) \end{gathered}$

Aplicando isso na função dada, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \lim_{x \to -2} \frac{(x^3+8)}{(x+2)} =\lim_{x \to -2} \frac{(x^3+2^3)}{(x+2)}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\sf \lim_{x \to -2} \frac{(x^3+2^3)}{(x+2)}= \lim_{x \to -2} \frac{\cancel{(x+2)}(x^2-2x+4)}{\cancel{(x+2)}}\end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \lim_{x \to -2} \frac{(x^3+2^3)}{(x+2)}= \lim_{x \to -2} (x^2-2x+4)\end{gathered}$

Substituindo então o valor do x tende, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \lim_{x \to -2} \frac{(x^3+2^3)}{(x+2)}= (-2)^2-2(-2)+4\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \lim_{x \to -2} \frac{(x^3+2^3)}{(x+2)}= 4+4+4\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\therefore \green{\underline{\boxed{\sf \lim_{x \to -2} \frac{(x^3+2^3)}{(x+2)}= 12}}}\ \ \ (\checkmark).\end{gathered} }$

Vamos agora fazer pela Regra de l'Hôpital, que é dada da seguinte forma:

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{ \sf \lim_{x \to n} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x \to n} \frac{f'(x)}{g'(x)}} \end{gathered} }$

Aplicando na sua questão, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \lim_{x \to -2} \frac{(x^3+8)}{(x+2)} =\lim_{x \to -2} \frac{(x^3+8)'}{(x+2)'}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \lim_{x \to -2} \frac{(x^3+8)}{(x+2)} =\lim_{x \to -2} \frac{3x^2}{1}\end{gathered}$

Substituindo o valor pelo qual o x tende:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \lim_{x \to -2} \frac{(x^3+8)}{(x+2)} =3(-2)^2\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \lim_{x \to -2} \frac{(x^3+8)}{(x+2)} =3\cdot 4\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\therefore \green{\underline{\boxed{\sf \lim_{x \to -2} \frac{(x^3+8)}{(x+2)} =12}}}\ \ \ (\checkmark).\end{gathered} }$

Veja mais sobre:

• brainly.com.br/tarefa/49956424