Question

Resolva o problema de valor inicial:



= x².sen ( x³-1) , com y ( 1 ) = 0

Answer 1

A questão nos fornece a seguinte função derivada:

$\sf \frac{dy}{dx} = x {}^{2} sen.( {x}^{3} - 1)$

Questões de valor inicial quererem saber qual era a função antes dessa derivação, para isso devemos usar o artifício da integral.

• Primeiro vamos passar o dx multiplicando:

$\sf dy = x {}^{2} sen(x {}^{3} - 1)dx$

Integre os dois lados da equação:

$\sf \int dy = \int x {}^{2} .sen(x {}^{3} - 1)dx$

A integral de dy é o próprio y mais uma constante, já a integral da parte direita devemos resolver pelo método da substituição.

$\sf y +C_1= \int x {}^{2} .sen( {x}^{3} - 1)dx$

Para resolver aquela integral usaremos o método citado acima, pois nessa mesma relação possuímos uma função e ao mesmo tempo a sua derivada, digamos então que:

$\sf u = x {}^{3} - 1$

Derivando "u" em relação a "x":

$\sf \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x {}^{3} - 1) \longleftrightarrow \sf \frac{du}{dx} = 3x {}^{2}$

Observe que não temos de fato o x² que esperávamos, então vamos passar o 3 dividindo e o dx multiplicando:

$\sf \frac{du}{3} = x {}^{2} dx \longleftrightarrow \frac{1}{3} du = x {}^{2} dx$

Substituindo os dados nos seus devidos locais, temos que:

$\sf y +C_1= \int x {}^{2}dx .sen(u) \\ \sf y +C_1 = \int \frac{1}{3} du.sen(u)$

Podemos usar a seguinte propriedade nesse momento, que é dada por:

$\sf \int k.f(x)dx = k. \int f(x)dx$

Ou seja, podemos transitar com valores constantes para dentro e para fora da integral, então:

$\sf y +C_1 = \frac{1}{3} \int sen(u)du$

Agora temos uma integral bem simples de se resolver, pois como sabemos a integral é o inverso da derivada. Para encontrar a integral do seno, devemos lembrar qual foi a derivada que deu origem ao mesmo, certamente você há de concordar que:

$\sf \frac{d}{dx} cos(x)= - sen(x)$

Mas temos um sinal negativo, então basta multiplicar por (-1):

$\sf \frac{d}{dx} [ - cos(x) ] = sen(x)$

Substituindo essa informação, temos que o resultado é:

$\sf y +C_1 = \frac{1}{3} [ - cos(u)] + C_2 \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf y +C_1 = - \frac{1}{3} cos(x {}^{3} - 1) + C_2 \\ \\ \sf y = - \frac{1}{3} cos(x {}^{3} - 1) + C_2 - C_1 \\ \\ \sf y = - \frac{1}{3} cos(x {}^{3} - 1) + C$

Então temos que a função primitiva é:

$\boxed{\sf F(x) = - \frac{1}{3} cos(x {}^{3} - 1) + C}$

Agora que achamos a função, vamos encontrar o valor da constante, para isso devemos usar a informação de que y(1) = 0, então:

$\sf F(1) = - \frac{ 1 }{3} cos(1 {}^{3} - 1) + C \\ \\ \sf 0 = - \frac{1}{3} cos(0) + C \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf 0 = - \frac{ 1}{3} .1 + C \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{\sf C = \frac{1}{3} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Podemos concluir então que:

$\boxed{ \sf F (x) = - \frac{1}{3} cos(x {}^{3} - 1) + \frac{1}{3} }$

Espero ter ajudado