Question

Resolva o problema de valor inicial:

ds/dt = cost + sent, s(π) = 1

Answer 1

A equação dada é separável. Considere que temos um ponto $s(t_0)=s_0$ conhecido. Desenvolvendo-a:

$\displaystyle \dfrac{ds}{dt}=\cos(t)+\sin(t)\\\\ \int_{s_0}^s ds=\int_{t_0}^t(\cos(t)+\sin(t))dt\\\\ \left[ s \right]_{s_0}^s=[\sin(t)-\cos(t)]_{t_0}^t\\\\ s-s_0=(\sin(t)-\cos(t))-(\sin(t_0)-\cos(t_0))$

Como foi dado o ponto $s(\pi)=1$, vamos tomar $t_0=\pi$ e $s(\pi)=1$. Substituindo:

$s-s_0=(\sin(t)-\cos(t))-(\sin(t_0)-\cos(t_0))\\\\ s-1=(\sin(t)-\cos(t))-(\sin(\pi)-\cos(\pi))\\\\ s-1=(\sin(t)-\cos(t))-(0-(-1))\\\\ s-1=(\sin(t)-\cos(t))-(0+1)\\\\ s-1=(\sin(t)-\cos(t))-1\\\\ \boxed{s(t)=\sin(t)-\cos(t)}$