Question

Resolva nos R:

${x}^{8} - {x}^{2} - 3 = 0$


#Cálculo e explicação

Answer 1

$\mathsf{x^8-x^2-3=0~\longrightarrow~(x^2)^4-x^2-3=0}$

Seja $\mathsf{y=x^2}$

$\mathsf{(x^2)^4-x^2-3=0~\longrightarrow~y^4-y-3=0}$

Se $\mathsf{m_1,m_2}$ e $\mathsf{m_3}$ são raízes de $\mathsf{m^3+\left(\dfrac{k_1}{2}\right)\cdot m^2+\left[\dfrac{(k_1)^2-4k_3}{16}\right]\cdot m-\left(\dfrac{k_2}{8}\right)^2=0}$, então:

$\mathsf{y_1=\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}+\sqrt{m_3}}\\\mathsf{y_2=\sqrt{m_1}-\sqrt{m_2}-\sqrt{m_3}}\\\mathsf{y_3=-\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}-\sqrt{m_3}}\\\mathsf{y_4=-\sqrt{m_1}-\sqrt{m_2}+\sqrt{m_3}}$ são raízes de $\mathsf{y^4+k_1\cdot y^2+k_2\cdot y+k_3=0}$

Nesse caso $\mathsf{y^4-y-3=0}$, temos $\mathsf{k_1=0}$, $\mathsf{k_2=-1}$ e $\mathsf{k_3=-3}$

Substituindo:

$\mathsf{m^3+\left(\dfrac{k_1}{2}\right)\cdot m^2+\left[\dfrac{(k_1)^2-4k_3}{16}\right]\cdot m-\left(\dfrac{k_2}{8}\right)^2=0}$ 

$\mathsf{m^3+\left(\dfrac{0}{2}\right)\cdot m^2+\left[\dfrac{0^2-4\cdot(-3)}{16}\right]\cdot m-\left(\dfrac{-1}{8}\right)^2=0}$

$\mathsf{m^3+\dfrac{12}{16}\cdot m-\dfrac{1}{64}=0}$

$\mathsf{m^3+\dfrac{3}{4}\cdot m-\dfrac{1}{64}=0}$

Vamos utilizar a fórmula de Cardano:

Dada a equação do terceiro grau $\mathsf{m^3+pm+q=0}$, suas raízes são:

$\mathsf{m_1=\sqrt[3]{\dfrac{-q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\dfrac{-q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}}$

$\mathsf{m_2=\sqrt[3]{\dfrac{-q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}\cdot \omega^2+\sqrt[3]{\dfrac{-q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}\cdot \omega}$

$\mathsf{m_3=\sqrt[3]{\dfrac{-q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}\cdot \omega+\sqrt[3]{\dfrac{-q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}}\cdot \omega^2}$

Onde $\mathsf{\omega=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}}$

Na equação $\mathsf{m^3+\dfrac{3}{4}\cdot m-\dfrac{1}{64}=0}$, temos $\mathsf{p=\dfrac{3}{4}}$ e $\mathsf{q=-\dfrac{1}{64}}$

Logo, as raízes dessa equação são:

$\mathsf{m_1=\sqrt[3]{\frac{-\left(-\frac{1}{64}\right)}{2}+\sqrt{\frac{\left(-\frac{1}{64}\right)^2}{4}+\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{-\left(-\frac{1}{64}\right)}{2}-\sqrt{\frac{\left(-\frac{1}{64}\right)^2}{4}+\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^3}{27}}}}$

$\mathsf{m_1=\sqrt[3]{\dfrac{1}{128}+\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{4096}}{4}+\dfrac{\dfrac{27}{64}}{27}}}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{128}-\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{4096}}{4}+\dfrac{\dfrac{27}{64}}{27}}}}}$

$\mathsf{m_1=\sqrt[3]{\dfrac{1}{128}+\sqrt{\dfrac{1}{16384}+\dfrac{1}{64}}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{128}-\sqrt{\dfrac{1}{16384}+\dfrac{1}{64}}}}}$


$\mathsf{m_1=\sqrt[3]{\dfrac{1}{128}+\sqrt{\dfrac{1+256}{16384}}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{128}-\sqrt{\dfrac{1+256}{16384}}}}$

$\mathsf{m_1=\sqrt[3]{\dfrac{1}{128}+\dfrac{\sqrt{257}}{128}}+\sqrt[3]{\dfrac{1}{128}-\dfrac{\sqrt{257}}{128}}}$

$\mathsf{m_1=\sqrt[3]{\dfrac{1+\sqrt{257}}{128}}+\sqrt[3]{\dfrac{1-\sqrt{257}}{128}}}$

$\mathsf{m_2=\sqrt[3]{\dfrac{1+\sqrt{257}}{128}}\cdot\omega^2+\sqrt[3]{\dfrac{1-\sqrt{257}}{128}}\cdot\omega}$

$\mathsf{m_2=\sqrt[3]{\dfrac{1+\sqrt{257}}{128}}\cdot\left(\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\sqrt[3]{\dfrac{1-\sqrt{257}}{128}}\cdot\left(\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)}$

$\mathsf{m_2=\sqrt[3]{\dfrac{1+\sqrt{257}}{128}}\cdot\left(\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right)+\sqrt[3]{\dfrac{1-\sqrt{257}}{128}}\cdot\left(\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)}$

$\mathsf{m_3=\sqrt[3]{\dfrac{1+\sqrt{257}}{128}}\cdot\omega+\sqrt[3]{\dfrac{1-\sqrt{257}}{128}}\cdot\omega^2}$

$\mathsf{m_3=\sqrt[3]{\dfrac{1+\sqrt{257}}{128}}\cdot\left(\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)+\sqrt[3]{\dfrac{1-\sqrt{257}}{128}}\cdot\left(\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right)}$

As raízes de $\mathsf{y^4-y-3=0}$ são:

$\mathsf{y_1=\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}+\sqrt{m_3}}\\\mathsf{y_2=\sqrt{m_1}-\sqrt{m_2}-\sqrt{m_3}}\\\mathsf{y_3=-\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}-\sqrt{m_3}}\\\mathsf{y_4=-\sqrt{m_1}-\sqrt{m_2}+\sqrt{m_3}}$

Como $\mathsf{x^2=y}$, as raízes de $\mathsf{x^8-x^2-3=0}$ são:

$\mathsf{x_1=\sqrt{y_1}~~~~~~~~~~~~~x_5=\sqrt{y_3}}\\\mathsf{x_2=-\sqrt{y_1}~~~~~~~~~~~x_6=-\sqrt{y_3}}\\\mathsf{x_3=\sqrt{y_2}~~~~~~~~~~~~~x_7=\sqrt{y_4}}\\\mathsf{x_4=-\sqrt{y_2}~~~~~~~~~~~x_8=-\sqrt{y_4}}$