Question

discuta o sistema (3x - 2y = 1)
(ax - 4y = b)

em função de a e b

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Wesley, que a resolução é simples, porém depende de conhecimento sobre sistemas possíveis e determinado (SPD), sistemas possíveis e indeterminados (SPI) e sistemas impossíveis (SI).
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se para discutir o seguinte sistema em função de "a" e "b", com duas equações e quatro incógnitas, que são: "a", "b", "x" e "y".

{3x - 2y = 1        . (I)
{ax - 4y = b        . (II)

ii) Veja, primeiro cumpre-nos encontrar quais os valores de "a" e de "b". Depois de sabermos os seus valores, comporemos um novo sistema e, a partir daí, então iremos classificar esse sistema.

ii) Vamos fazer o seguinte: multiplicaremos a expressão (I) por "-2" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (II). Assim, teremos:

-6x+4y = -2 ----- [esta é a expressão (I) multiplicada por "-2"]
ax - 4y = b ------- [esta é a expressão (II) normal]
--------------------------- somando membro a membro, teremos:
ax-6x+0 = b-2 ---- ou apenas:
ax - 6x = b - 2 ---- vamos colocar "x" em evidência no 1º membro, ficando:
(a - 6)x = b - 2

iii) Agora veja que poderemos complementar, no 1º membro da expressão acima, o coeficiente do termo independente por "0", ficando: "(a-6)x + 0"; e, no segundo membro, poderemos complementar o coeficiente do termo em "x" com "0", ficando: "0x + b-2". Assim, fazendo isso, teremos:

(a-6)x + 0 = 0x + b-2

Agora note mais isto: vamos comparar os coeficientes do 1º membro com os do 2º membro e os igualaremos. Ou seja, no primeiro membro, o coeficiente de "x" é "a-6" e, no 2º membro, o coeficiente de "x" é "0". Por sua vez, no 1º membro, o coeficiente do termo independente é "0"; e, no 2º membro, o coeficiente do termo independente é "b-2". Então vamos igualá-los, ficando assim:

a-6 = 0 ---> a = 6 <--- Este será o valor de "a".
e
0 = b-2 ----> b-2 = 0 ---> b = 2 <--- Este será o valor de "b".

iv) Agora vamos voltar para o sistema inicial e vamos substituir "a" por "6" e o "b' por "2". Note que o sistema inicial é este:

3x - 2y = 1
e
ax - 4y = b

Fazendo as substituições que propusemos aí em cima, teremos um novo sistema, mas agora já com os valores numéricos de "a" e de "b". O novo sistema seria este:

3x - 2y = 1       . (III)
6x - 4y = 2       . (IV)

v) Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (III) por "-2" e, em seguida, somaremos membro a membro com a expressão (IV). Assim, fazendo isso, teremos:

-6x+4y = -2 ----[esta é a expressão (III) multiplicada por "-2"]
6x - 4y = 2 ---- [esta é a expressão (IV) normal]
----------------------- somando membro a membro, teremos isto:
0 + 0 = 0 --- ou apenas:
0 = 0

vi) Agora veja: quando, na resolução de um sistema, encontramos algo como acabamos de encontrar acima (0 = 0), então já poderemos afirmar, sem qualquer dúvida, que o sistema é SPI (sistema possível e indeterminado), o que significa que ele admite infinitas soluções. Então, na discussão do sistema dada, teremos que para a = 6 e b = 2, teremos que o sistema dada será:

SPI (Sistema Possível e Indeterminado) <--- Esta é a resposta. Ou seja, o sistema terá infinitas soluções para a = 6 e b = 2.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.