Question

Resolva no universo R a equação: 2sen²x-cosx-1=0

Answer 1

Oi Mikaell.

Dada a equação:

$2sen^{ 2 }x-cosx-1=0$

Pela relação fundamental podemos entender o seno da seguinte forma.

$sen^{ 2 }x+cos^{ 2 }x=1\\ sen^{ 2 }x=1-cos^{ 2 }x$

Substituindo teremos.

$2sen^{ 2 }x-cosx-1=0\\ 2(1-cos^{ 2 }x)-cosx-1=0\\ 2-2cos^{ 2 }x-cosx-1=0\\ -2cos^{ 2 }x-cosx+1=0\quad (-1)\\ 2cos^{ 2 }x+cosx-1=0$

Fazendo a mudança de variável.

$cosx=y\\ \\ 2y^{ 2 }+y-1=0$

Agora basta resolver essa equação de segundo grau.

$\Delta =b^{ 2 }-4ac\\ \Delta =1^{ 2 }-4*2*(-1)\\ \Delta =1+8\\ \Delta =9\\ \\ y^{ l }\quad e\quad y^{ ll }=\frac { -b\pm \sqrt { 9 } }{ 2a } \\ \\ y^{ l }=\frac { -1+3 }{ 4 } \Rightarrow \frac { 2 }{ 4 } \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } \\ \\ y^{ ll }=\frac { -1-3 }{ 4 } \Rightarrow \frac { -4 }{ 4 } \Rightarrow -1$


Então temos:


$cosx=y\\ cosx=-1\\ cosx=270^{ o }\\ \\ cosx=y\\ cosx=\frac { 1 }{ 2 } \\ \\ cosx=60^{ o },300^{ o }\\ \\ S=\{ 60^{ o },180^{ o },300^{ o }\}$