Question

Resolva no universo R a equação: 2sen²x-cosx-1=0

Answer 1

Pela relação fundamental da trigonometria, temos:
sen²x + cos²x = 1
Assim podemos escrever:
sen²x = 1 - cos²x
Agora substituindo na sua equação:
2(1-cos²x) - cosx -1 = 0
2 - 2cos²x - cosx -1=0
-2cos²x - cosx +1 = 0
Perceba que se chamarmos o (cosx = y), ficariamos com uma equação de segundo grau:
-2y² - y + 1=0
Δ = (-1)² - 4.(-2).1
Δ = 1+8
Δ = 9

y1 = -(-1) + √9  =>  y1= 1+3  => y1 = 4  => y = -1
       2.(-2)                      -4                -4

y2 = -(-1) - √9  => y2 = 1-3  => y2 = -2  => y2 = 1/2
         2.(-2)                   -4               -4

Agora voltando ao (cosx = y), teremos:

Para y1:
cosx = -1 => o único ângulo em que cosx = -1 é 180°

para y2
cosx = 1/2 => o único ângulo em que cosx = 1/2 é 60°

Espero ter ajudado :)

Answer 2

$2sen^{2}x-cos~x-1=0$

Relação fundamental da trigonometria:

$sen^{2}x+cos^{2}x=1\\sen^{2}x=1-cos^{2}x$

Substituindo:

$2(1-cos^{2}x)-cos~x-1=0\\2-2cos^{2}x-cos~x-1=0\\-2cos^{2}x-cos~x-1+2=0\\-2cos^{2}x-cos~x+1=0\\\\\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=(-1)^{2}-4\cdot(-2)\cdot1\\\Delta=1+8\\\Delta=9\\\\cos~x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2\cdot(-2)}=\dfrac{1\pm3}{-4}$

Logo, temos:

$cos~x=\dfrac{1+3}{-4}=\dfrac{4}{-4}=-1\\\\\\cos~x=\dfrac{1-3}{-4}=\dfrac{-2}{-4}=\dfrac{1}{2}$

Os valores de x que possuem cosseno igual a -1 são 180º e seus arcos côngruos (540º, 900º, ...)

Logo:

$x=180\º+360\ºk~~~~~k\in\mathbb{Z}$

Os valores de x que possuem cosseno igual a 1/2 são 60º e seus arcos côngruos dos primeiro e quarto quadrantes

Primeiro quadrante:

$x=60\º+360\ºk~~~~~k\in\mathbb{Z}$

Quarto quadrante:

$x=300\º+360\ºk~~~~~k\in\mathbb{Z}$