Question

Resolva no intervalo 0 $0\leq x \ \textless \ 2 \pi$, a equação abaixo:
$2sen x- cossec x = 0$

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para resolver a seguinte expressão trigonométrica, considerando o intervalo: 0 ≤ x < 2π :

2sen(x) - csc(x) = 0 ---- veja que csc(x) = 1/sen(x). Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

2sen(x) - 1/sen(x) = 0 ---- mmc = sen(x). Assim, utilizando-o em toda a expressão, teremos:

sen(x)*2sen(x) - 1*1 = sen(x)*0 --- desenvolvendo, teremos:
2sen²(x) - 1 = 0
2sen²(x) = 1
sen²(x) = 1/2
sen(x) = +- √(1/2) ----- note que √(1/2) é o mesmo que: √(1)/√(2). Logo:

sen(x) = +- √(1)/√(2) --- como √(1) = 1, teremos:
sen(x) = +- 1/√(2) ---- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por √(2).Assim:

sen(x) = +- 1*√(2)/√(2)*√(2)
sen(x) = +- √(2)/√(2*2)
sen(x) = +- √(2)/√(4) ------ como √(4) = 2, teremos:
sen(x) = +- √(2)/2 ---- assim, teremos que:

sen(x)' = - √(2)/2
ou
sen(x)'' = √(2)/2

Agora veja que: no intervalo dado, que é 0 ≤ x < 2π, o seno é igual a:

i) -√(2)/2 nos arcos de: 225º (ou 5π/4 radianos) e de 315º (ou 7π/4 radianos).

ii) √(2)/2 nos arcos de: 45º (ou π/4 radianos) e de 135º (ou 3π/4 radianos).

Assim, teremos que o arco "x" poderá ser, no intervalo dado (colocando os arcos em ordem crescente):

x' = π/4 radianos (ou 45º)
x'' = 3π/4 radianos (ou 135º)
x''' = 5π/4 radianos (ou 225º)
x'''' = 7π/4 radianos (ou 315º).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.